來源:網(wǎng)絡資源 2023-09-23 14:54:48
一、基本概念
(1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件;
(2)若A∩B為不可能事件,即A∩B=中,那么稱事件A與事件B互斥;
(3)若A∩B為不可能事件,AUB為必然事件,那么稱事件A與事件B互為對立事件;
(4)當事件A與B互斥時,滿足加法公式:P(AUB)= P(A)+ P/B);
若事件A與B為對立事件,則AUB為必然事件,所以P(AUB)= P(A)+ P(B)=1,于是有P(A)=1-P(B)。
二、概率的基本性質(zhì)
(1)必然事件概率為1,不可能事件概率為0,因此0≤P(A)≤1;
(2)當事件A與B互斥時,滿足加法公式:P(AUB)= P(A)+ P(B);
(3)若事件A與B為對立事件,則AUB為必然事件,所以P(AUB)= P(A)+ P(B)=1于是有P(A)=1-P(B)
(4)互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系,互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗中不會同時發(fā)生,其具體包括三種不同的情形:
(1)事件A發(fā)生目事件B不發(fā)生:
(2)事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生:
(3)事件A與事件B同時不發(fā)生,而對立事件是指事件A與事件B有且僅有一個發(fā)生,其包括兩種情形:
(1)事件A發(fā)生B不發(fā)生;
(2)事件B發(fā)生事件A不發(fā)生,對立事件互斥事件的特殊情形。
三、概率的嚴格定義
設E是隨機試驗,S是它的樣本空間。對于E的每一事件A賦于一個實數(shù),記為P(A),稱為事件A的概率。這里P(·)是一個集合函數(shù),P(·)要滿足下列條件:
(1)非負性:對于每一個事件A,有P(A)≥0;
(2)規(guī)范性: 對于必然事件S,有P(S)=1;
(3)可列可加性: 設A1,A2.....是兩兩互不相容的事件,即對于i≠j,Ai∩Aj=γ,(i,j=1,2.....),則有P(A1UA2 U ......)=P(A1)+P(A2)+......
四、概率的統(tǒng)計定義
在一定條件下,重復做n次試驗,nA為n次試驗中事件A發(fā)生的次數(shù),如果隨著n逐漸增大,頻率nA/n逐漸穩(wěn)定在某一數(shù)值p附近,則數(shù)值p稱為事件A在該條件下發(fā)生的概率,記作P(A)=p。這個定義成為概率的統(tǒng)計定義。
在歷史上,第一個對“當試驗次數(shù)n逐漸增大,頻率nA穩(wěn)定在其概率p上”這一論斷給以嚴格的意義和數(shù)學證明的是早期概率論中上最重要的學者雅各布伯努利(Jocob Bernoulli,公元1654年~1705年)。
從概率的統(tǒng)計定義可以看到,數(shù)值p就是在該條件下該事件A發(fā)生可能性大小的一個數(shù)量指標。
由于頻率nA/n總是介于0和1之間,從概率的統(tǒng)計定義可知,對任意事件A,皆有0≤P(A)≤1,P(O)=1,P(∅)=0。
O,∅中分別表示必然事件(在一定條件下必然發(fā)生的事件)和不可能事件(在一定條件下必然不發(fā)生的事件)。
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