來源:網(wǎng)絡(luò)資源 2023-08-23 19:12:52
第二章:代數(shù)式
一、代數(shù)式
1、代數(shù)式:
用運(yùn)算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子,叫代數(shù)式。單獨(dú)一個(gè)數(shù)或者一個(gè)字母也是代數(shù)式。
2、代數(shù)式的值:
用數(shù)值代替代數(shù)里的字母,計(jì)算后得到的結(jié)果叫做代數(shù)式的值。
3、代數(shù)式的分類:
二、整式的有關(guān)概念及運(yùn)算
1、概念
(1)單項(xiàng)式:像x、7、2x2y,這種數(shù)與字母的積叫做單項(xiàng)式。單獨(dú)一個(gè)數(shù)或字母也是單項(xiàng)式。
單項(xiàng)式的次數(shù):一個(gè)單項(xiàng)式中,所有字母的指數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。
單項(xiàng)式的系數(shù):單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫單項(xiàng)式的系數(shù)。
(2)多項(xiàng)式:幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。
多項(xiàng)式的項(xiàng):多項(xiàng)式中每一個(gè)單項(xiàng)式都叫多項(xiàng)式的項(xiàng)。一個(gè)多項(xiàng)式含有幾項(xiàng),就叫幾項(xiàng)式。
多項(xiàng)式的次數(shù):多項(xiàng)式里,次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù),就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。不含字母的項(xiàng)叫常數(shù)項(xiàng)。
2、運(yùn)算
升(降)冪排列:把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從小(大)到大(小)的順序排列起來,叫做把多項(xiàng)式按這個(gè)字母升(降)冪排列。(3)同類項(xiàng):所含字母相同,并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)。(1)整式的加減:合并同類項(xiàng):把同類項(xiàng)的系數(shù)相加,所得結(jié)果作為系數(shù),字母及字母的指數(shù)不變。去括號法則:括號前面是“+”號,把括號和它前面的“+”號去掉,括號里各項(xiàng)都不變;括號前面是“-”號,把括號和它前面的“-”號去掉,括號里的各項(xiàng)都變號。添括號法則:括號前面是“+”號,括到括號里的各項(xiàng)都不變;括號前面是“-”號,括到括號里的各項(xiàng)都變號。整式的加減實(shí)際上就是合并同類項(xiàng),在運(yùn)算時(shí),如果遇到括號,先去括號,再合并同類項(xiàng)。(2)整式的乘除:冪的運(yùn)算法則:其中m、n都是正整數(shù)。同底數(shù)冪相乘:am·an=am+n;同底數(shù)冪相除:am÷an=am-n;冪的乘方:(am)n=amn;積的乘方:(ab)n=anbn。單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式:用它們系數(shù)的積作為積的系數(shù),對于相同的字母,用它們的指數(shù)的和作為這個(gè)字母的指數(shù);對于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母,則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式:就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng),再把所得的積相加。多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式:先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng),再把所得的積相加。單項(xiàng)式除單項(xiàng)式:把系數(shù),同底數(shù)冪分別相除,作為商的因式,對于只在被除式里含有字母,則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式:把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng),再把所得的商相加。平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2;完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2。
三、因式分解
1、因式分解概念:
把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式,叫因式分解。
2、常用的因式分解方法:
(1)提取公因式法:
ma+mb+mc=m(a+b+c)
(2)運(yùn)用公式法:
平方差公式:
a2-b2=(a+b)(a-b);
完全平方公式:
a2±2ab+b2=(a±b)2
(3)十字相乘法:
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
(4)分組分解法:將多項(xiàng)式的項(xiàng)適當(dāng)分組后能提公因式或運(yùn)用公式分解。
(5)運(yùn)用求根公式法:
若ax2+br+c=0(a≠0)的兩個(gè)根是x1、x2,則有:
ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
3、因式分解的一般步驟:
(1)如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式,那么先提公因式;
(2)提出公因式或無公因式可提,再考慮可否運(yùn)用公式或十字相乘法;
(3)對二次三項(xiàng)式,應(yīng)先嘗試用十字相乘法分解,不行的再用求根公式法。
(4)最后考慮用分組分解法。
四、分式
1、分式定義:
形如A/B的式子叫分式,其中A、B是整式,且B中含有字母。
(1)分式無意義:B=0時(shí),分式無意義;B≠0時(shí),分式有意義。
(2)分式的值為0:A=0,B≠0時(shí),分式的值等于0。
(3)分式的約分:把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去叫做分式的約分。方法是把分子、分母因式分解,再約去公因式。
(4)最簡分式:一個(gè)分式的分子與分母沒有公因式時(shí),叫做最簡分式。分式運(yùn)算的最終結(jié)果若是分式,一定要化為最簡分式。
(5)通分:把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來分式相等的同分母分式的過程,叫做分式的通分。
(6)最簡公分母:各分式的分母所有因式的最高次冪的積。
(7)有理式:整式和分式統(tǒng)稱有理式。
2、分式的基本性質(zhì):
(1)A/B=A·M/B·M
(M是≠0的整式);
(2)A/B=A÷M/A÷M
(M是≠0的整式)
3、分式的運(yùn)算:
(3)分式的變號法則:分式的分子,分母與分式本身的符號,改變其中任何兩個(gè),分式的值不變。(1)加、減:同分母的分式相加減,分母不變,分子相加減;異分母的分式相加減,先把它們通分成同分母的分式再相加減。(2)乘:先對各分式的分子、分母因式分解,約分后再分子乘以分子,分母乘以分母。(3)除:除以一個(gè)分式等于乘上它的倒數(shù)式。(4)乘方:分式的乘方就是把分子、分母分別乘方。
五、二次根式
1、二次根式的概念:
式子√a(a≥0)叫做二次根式。
(1)最簡二次根式:被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù),因式是整式,被開方數(shù)中不含能開得盡方的因式的二次根式叫最簡二次根式。
(2)同類二次根式:化為最簡二次根式之后,被開方數(shù)相同的二次根式,叫做同類二次根式。
(3)分母有理化:把分母中的根號化去叫做分母有理化。
(4)有理化因式:把兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘,如果它們的積不含有二次根式,我們就說這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式(常用的有理化因式有:√ā與√a,a√b+c√a與a√b-c√a)
2、二次根式的性質(zhì):
(1)(√a)2=a(a≥0)
(2)√a2=∣a∣(a≥0)a≥0時(shí),√a2=a
a<0時(shí),√a2=-a
(3)√ab=√a·√b(a≥0,b≥0)(4)√a/b=√a/√b(a≥0,b>0)
3、運(yùn)算:
(1)二次根式的加減:將各二次根式化為最簡二次根式后,合并同類二次根式。(2)二次根式的乘法:√a·√b=√ab(a≥0,b≥0)(3)二次根式的除法:√a/√b=√a/b(a≥0,b>0)
二次根式運(yùn)算的最終結(jié)果如果是根式,要化成最簡二次根式。
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