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2023年初中數(shù)學(xué):判定一個(gè)四邊形是特殊四邊形的步驟

來源:網(wǎng)絡(luò)資源 2023-03-16 17:41:22

中考真題

智能內(nèi)容

判定一個(gè)四邊形是特殊四邊形的步驟:

常見考法

(1)利用菱形、矩形、正方形的性質(zhì)進(jìn)行邊、角以及面積等計(jì)算;

(2)靈活運(yùn)用判定定理證明一個(gè)四邊形(或平行四邊形)是菱形、矩形、正方形;

(3)一些折疊問題;

(4)矩形與直角三角形和等腰三角形有著密切聯(lián)系、正方形與等腰直角三角形也有著密切聯(lián)系。所以,以此為背景可以設(shè)置許多考題。

誤區(qū)提醒

(1)平行四邊形的所有性質(zhì)矩形、菱形、正方形都具有,但矩形、菱形、正方形具有的性質(zhì)平行四邊形不一定具有,這點(diǎn)易出現(xiàn)混淆;

(2)矩形、菱形具有的性質(zhì)正方形都具有,而正方形具有的性質(zhì),矩形不一定具有,菱形也不一定具有,這點(diǎn)也易出現(xiàn)混淆;

(3)不能正確的理解和運(yùn)用判定定理進(jìn)行證明,(如在證明菱形時(shí),把四條邊相等的四邊形是菱形誤解成兩組鄰邊相等的四邊形是菱形);(3)再利用對(duì)角線長(zhǎng)度求菱形的面積時(shí),忘記乘;(3)判定一個(gè)四邊形是特殊的平行四邊形的條件不充分。

【典型例題】(2010天門、潛江、仙桃)正方形ABCD中,點(diǎn)O是對(duì)角線DB的中點(diǎn),點(diǎn)P是DB所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),PE⊥BC于E,PF⊥DC于F.

(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)(如圖①),猜測(cè)AP與EF的數(shù)量及位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;

(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段DB上(不與點(diǎn)D、O、B重合)時(shí)(如圖②),探究(1)中的結(jié)論是否成立?若成立,寫出證明過程;若不成立,請(qǐng)說明理由;

(3)當(dāng)點(diǎn)P在DB的長(zhǎng)延長(zhǎng)線上時(shí),請(qǐng)將圖③補(bǔ)充完整,并判斷(1)中的結(jié)論是否成立?若成立,直接寫出結(jié)論;若不成立,請(qǐng)寫出相應(yīng)的結(jié)論.

【解析】(1)AP=EF,AP⊥EF,理由如下:

連接AC,則AC必過點(diǎn)O,延長(zhǎng)FO交AB于M;

∵OF⊥CD,OE⊥BC,且四邊形ABCD是正方形,

∴四邊形OECF是正方形,

∴OM=OF=OE=AM,

∵∠MAO=∠OFE=45°,∠AMO=∠EOF=90°,

∴△AMO≌△FOE,

∴AO=EF,且∠AOM=∠OFE=∠FOC=45°,即OC⊥EF,

故AP=EF,且AP⊥EF.

(2)題(1)的結(jié)論仍然成立,理由如下:

延長(zhǎng)AP交BC于N,延長(zhǎng)FP交AB于M;

∵PM⊥AB,PE⊥BC,∠MBE=90°,且∠MBP=∠EBP=45°,

∴四邊形MBEP是正方形,

∴MP=PE,∠AMP=∠FPE=90°;

又∵AB-BM=AM,BC-BE=EC=PF,且AB=BC,BM=BE,

∴AM=PF,

∴△AMP≌△FPE,

∴AP=EF,∠APM=∠FPN=∠PEF

∵∠PEF+∠PFE=90°,∠FPN=∠PEF,

∴∠FPN+∠PFE=90°,即AP⊥EF,

故AP=EF,且AP⊥EF.

(3)題(1)(2)的結(jié)論仍然成立;

如右圖,延長(zhǎng)AB交PF于H,證法與(2)完全相同

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