來(lái)源:網(wǎng)絡(luò)資源 2023-02-01 20:51:01
1.軸對(duì)稱的定
把一個(gè)圖形沿著某一條直線翻折,如果它能夠與另一個(gè)圖形重合,那么稱這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱,也稱這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱,這條直線叫做對(duì)稱軸。折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn),也叫做對(duì)稱點(diǎn)。
【軸對(duì)稱指的是兩個(gè)圖形的位置關(guān)系,兩個(gè)圖形沿著某條直線對(duì)折后能夠完全重合.成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形一定全等!
2.軸對(duì)稱圖形的定義
把一個(gè)圖形沿著某直線折疊,如果直線兩旁的部分能互相重合,那么這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形,這條直線就是對(duì)稱軸。
【軸對(duì)稱圖形是指一個(gè)圖形,圖形被對(duì)稱軸分成的兩部分能夠互相重合.一個(gè)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸不一定只有一條,也可能有兩條或多條,因圖形而定。】
3.軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系
軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的主要區(qū)別:軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形,而軸對(duì)稱圖形是一個(gè)圖形;軸對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱的關(guān)系非常密切,若把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看作一個(gè)整體,則這個(gè)整體就是軸對(duì)稱圖形;反過(guò)來(lái),若把軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸兩旁的部分看作兩個(gè)圖形,則這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(原對(duì)稱軸)對(duì)稱.。
4.軸對(duì)稱的性質(zhì)
軸對(duì)稱的性質(zhì):成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形中,對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分;成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的任何對(duì)應(yīng)部分也成軸對(duì)稱;成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等。
5.線段的軸對(duì)稱性
①線段是軸對(duì)稱圖形,線段的垂直平分線是它的對(duì)稱軸。
②線段垂直平分線的性質(zhì)定理:線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等。
③線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理:到線段兩個(gè)端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。
【①線段的垂直平分線,畫(huà)出到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離,這樣就出現(xiàn)相等線段,直接或間接地為構(gòu)造全等三角形創(chuàng)造條件。②三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn),該點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)的距離相等,這點(diǎn)是三角形外接圓的圓心——外心!
6.線段的垂直平分線
垂直并且平分一條線段的直線,叫做這條線段的垂直平分線,也叫線段的中垂線。
7.角的軸對(duì)稱性
(1)角是軸對(duì)稱圖形,角的平分線所在的直線是它的對(duì)稱軸。
(2)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。
(3)角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。
【①用符號(hào)語(yǔ)言表示角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。若CD平分∠ADB,點(diǎn)P是CD上一點(diǎn),且PE⊥AD于點(diǎn)E,PF⊥BD于點(diǎn)F,則PE=PF】
【②用符號(hào)語(yǔ)言表示角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。若PE⊥AD于點(diǎn)E,PF⊥BD于點(diǎn)F,PE=PF,則PD平分∠ADB 】
8.角平分線的畫(huà)法
角平分線的尺規(guī)作圖
·真題解析
考點(diǎn)1 判別軸對(duì)稱圖形
例1
(2013年咸寧)下列學(xué)習(xí)用具中,不是軸對(duì)稱圖形的是( )
分析
:根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念:把一個(gè)圖形沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合的圖形是軸對(duì)稱圖形,對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷即可。
解:
選項(xiàng)A、B、D是軸對(duì)稱圖形,選項(xiàng)C不是軸對(duì)稱圖形,故選C。
考點(diǎn)2 線段的垂直平分線的性質(zhì)
例2
(2013年泰州)如圖1,在△ABC中,AB+AC=6 cm,BC的垂直平分線l與AC相交于點(diǎn)D,則△ABD的周長(zhǎng)為 cm.
分析:
根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì),可得DC=DB,進(jìn)而可確定△ABD的周長(zhǎng)。
解:
因?yàn)閘垂直平分BC,所以DB=DC
所以△ABD的周長(zhǎng)=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=6 cm.故填6。
考點(diǎn)3 畫(huà)軸對(duì)稱圖形
例3
(2013年哈爾濱)如圖2所示,在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度的方格紙中,有線段AB和直線MN,點(diǎn)A,B,M,N均在小正方形的頂點(diǎn)上,在方格紙中畫(huà)四邊形ABCD(四邊形的各頂點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上),使四邊形ABCD是以直線MN為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形,點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D,點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C。
分析:
過(guò)點(diǎn)A畫(huà)直線MN的垂線,垂足為O,在垂線上截取OD=OA,D就是A關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn);同理,畫(huà)出點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)C;連接BC,CD,DA,即可得到四邊形ABCD。
解:
正確畫(huà)圖如圖3所示。
例4
(2013年重慶)作圖題:(不要求寫(xiě)作法)如圖4所示,△ABC在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為A(-2,1),B(-4,5),C(-5,2)。
⑴作△ABC關(guān)于直線l:x=-1對(duì)稱的△A1B1C1,其中,點(diǎn)A,B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A1,B1,C1;
⑵寫(xiě)出點(diǎn)A1,B1,C1的坐標(biāo)。
分析:
⑴根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A,B,C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A1,B1,C1,然后順次連接即可;⑵直接根據(jù)平面直角坐標(biāo)系寫(xiě)出點(diǎn)A1,B1,C1的坐標(biāo)。
解:
⑴畫(huà)△A1B1C1如圖5所示。
⑵A1(0,1)、B1(2,5)、C1(3,2)。
考點(diǎn)4 關(guān)于x軸或y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)
例5
(2013年遂寧)將點(diǎn)A(3,2)沿x軸向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)A′,點(diǎn)A′關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是( )
A.(-3,2) B.(-1,2) C.(1,2) D.(-1,-2)
分析:
先利用平移中點(diǎn)的變化規(guī)律求出點(diǎn)A′的坐標(biāo),再根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求解。
解:
因?yàn)閷Ⅻc(diǎn)A(3,2)沿x軸向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)A′,所以點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(-1,2)。所以點(diǎn)A′關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,2),故選C。
考點(diǎn)5 等腰三角形的性質(zhì)
例6
(2013年臺(tái)灣)如圖6,在長(zhǎng)方形ABCD中,M為CD中點(diǎn),分別以B,M為圓心,BC,MC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧相交于點(diǎn)P。若∠PBC=70°,則∠MPC的度數(shù)為( )
A.20° B.35° C.40° D.55°
分析:
根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠BCP,然后求出∠MCP,再根據(jù)“等邊對(duì)等角”求解即可.
解:
因?yàn)榉謩e以B,M為圓心,BC,MC長(zhǎng)為半徑的兩弧相交于點(diǎn)P,所以BP=BC,MP=MC。
因?yàn)?ang;PBC=70°,所以∠BCP=1/2(180°-∠PBC)=1/2(180°-70°)=55°
在長(zhǎng)方形ABCD中,∠BCD=90°,所以∠MCP=90°-∠BCP=90°-55°=35°
所以∠MPC=∠MCP=35°,故選B。
考點(diǎn)6 等邊三角形的性質(zhì)
例7
(2013年黔西南州)如圖8,已知△ABC是等邊三角形,點(diǎn)B,C,D,E在同一直線上,且CG=CD,DF=DE,則∠E的度數(shù)為
分析:
根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),可知∠ACB=60°,根據(jù)等腰三角形底角相等即可得出∠E的度數(shù)。
解:
因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形,所以∠ACB=60°,∠ACD=120°
因?yàn)镃G=CD,所以∠CDG=30°,∠FDE=150°
因?yàn)镈F=DE,所以∠E=15°,故填15°
考點(diǎn)7含300角的直角三角形的性質(zhì)
例8
(2013年泰安)如圖9,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)E,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,若∠F=30°,DE=1,則BE的長(zhǎng)是
分析:
根據(jù)題意推得∠DBE=30°,則在Rt△DBE中由“30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”即可求得線段BE的長(zhǎng)度。
解:
因?yàn)镕D⊥AB,所以∠ACB=∠FDB=90°
因?yàn)?ang;F=30°,所以∠A=∠F=30°
又DE垂直平分線AB,所以∠EBA=∠A=30°
因?yàn)镈E=1,所以BE=2DE=2,故填2。
·誤區(qū)點(diǎn)撥
誤區(qū)1 軸對(duì)稱含義理解不清致錯(cuò)
例1
如圖1中的(1)、(2)兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱,請(qǐng)畫(huà)出它們的對(duì)稱軸。
錯(cuò)解:
如圖1所示的直線MN
剖析:
沿直線MN對(duì)折,在直線MN兩旁的圖形的確可以互相重合,但這里要求的是畫(huà)(1)、(2)的對(duì)稱軸,而MN并不是這兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸。畫(huà)成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸時(shí)要注意所指的是哪個(gè)兩個(gè)圖形,特別注意當(dāng)這兩個(gè)圖形本身也是軸對(duì)稱圖形時(shí),不要把各自圖形的對(duì)稱軸作為兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸。
正解:
如圖1所示的直線PQ
誤區(qū)2
例2
如圖2,已知A,C兩點(diǎn)關(guān)于BD對(duì)稱,下列結(jié)論:①OA=OC;②OB=OD;③AD=CD;④AB=CB。其中正確的有 (填序號(hào)即可).
錯(cuò)解:
填①②③④.
剖析:
錯(cuò)解“A,C兩點(diǎn)關(guān)于BD對(duì)稱”錯(cuò)誤理解為“AC,BD互相垂直平分”,實(shí)際上OA=OC,AB=CB,AD=CD成立,但OB=OD不一定成立。
正解:
填①③④.
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