來源:網(wǎng)絡(luò)資源 2023-01-03 20:56:11
反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)中,教材列舉了三個(gè)反比例函數(shù)y=2/x,y=4/x,y=6/x,要求觀察它們的圖象,發(fā)現(xiàn)它們的共同特征(教材第150頁),同時(shí)為了引導(dǎo)學(xué)生思考,提出了三個(gè)問題:
(1)函數(shù)圖象分別位于哪個(gè)象限內(nèi)?
(2)在每一個(gè)象限內(nèi),隨著x值的增大,y的值是怎樣變化的?能說明這是為什么嗎?
(3)反比例函數(shù)的圖象可能與x軸相交嗎?可能與y軸相交嗎?為什么?
課堂反饋
由于在前一節(jié)課中,我們練習(xí)過如何繪制反比例函數(shù)的圖象雙曲線,因此本節(jié)課的圖象是學(xué)生在練習(xí)本上繪制的,之所以沒有采用直接看課本,是為了進(jìn)一步熟悉雙曲線的特點(diǎn),動(dòng)手畫比僅用眼看要深刻。
繪制過程中,為了讓學(xué)生方便類比,于是建議在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫三對(duì)雙曲線,如下圖:
很快,學(xué)生能夠觀察出第一個(gè)特征:當(dāng)k>0時(shí),雙曲線在第一、三象限,且關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱,關(guān)于y=x軸對(duì)稱;緊接著,第二個(gè)特征:在每個(gè)象限內(nèi),y隨x的增大而減少,之所以強(qiáng)制在每個(gè)象限內(nèi),是因?yàn)樽宰兞縳不為0,第三個(gè)特征:雙曲線無限接近坐標(biāo)軸,這個(gè)特征是受問題3啟發(fā),畢竟是否與x軸、y軸相交,屬于圖形直觀。
按照教學(xué)要求,探索已經(jīng)圓滿完成,無論是課程標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)反比例函數(shù)的要求,還是教參上對(duì)此部分內(nèi)容的要求,均已達(dá)到。
課程標(biāo)準(zhǔn)要求:
教參第212頁要求:
因此,當(dāng)學(xué)生提出第四個(gè)特征的時(shí)候,便是對(duì)反比例函數(shù)圖象的深入理解了,即當(dāng)k越大,雙曲線離“中間”越遠(yuǎn)。
這是一句學(xué)生歸納用語,并不十分符合數(shù)學(xué)語言規(guī)范,但是對(duì)于這個(gè)探索成果,無論如何也不應(yīng)該否定,因此,需要想辦法對(duì)它進(jìn)行數(shù)學(xué)加工。
學(xué)生的意思是k越大,雙曲線遠(yuǎn)離坐標(biāo)軸,但表述似乎也不對(duì),剛剛探索到的第三條特征中不是說雙曲線無限接近坐標(biāo)軸嗎?怎么又遠(yuǎn)離呢?而事實(shí)上,如果觀察它們,確定一條比一條更“遠(yuǎn)”。
我們首先要明確學(xué)生的認(rèn)知范圍,在初中階段,數(shù)學(xué)上形容遠(yuǎn)近,是用距離這個(gè)概念,而最初的距離,出現(xiàn)在兩點(diǎn)之間的線段長(zhǎng)度,后來的所有和距離有關(guān)的概念,無不是建立在兩點(diǎn)之間,例如點(diǎn)到直線的距離,過這一點(diǎn)向直線作垂線段,這點(diǎn)到垂足之間的距離叫點(diǎn)到直線的距離,再例如平行線間的距離,即其中一條直線上的任意點(diǎn)到另一條直線的距離,即使在學(xué)習(xí)圓之后,點(diǎn)和圓的位置關(guān)系時(shí),距離是用點(diǎn)和圓心的距離,等等,基本上,談到距離,最終都會(huì)歸結(jié)為點(diǎn)與點(diǎn)之間的線段長(zhǎng)度。
那么雙曲線怎么辦?參照原點(diǎn)還是坐標(biāo)軸?
正因?yàn)殡p曲線與坐標(biāo)軸是無限接近的關(guān)系,并不方便描述,因此,我選擇原點(diǎn)為參照,再結(jié)合雙曲線關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱,同時(shí)也關(guān)于y=x軸對(duì)稱,將y=x這條對(duì)稱軸作出來,如下圖:
當(dāng)k>0時(shí),y=x與雙曲線y=2/x,y=4/x,y=6/x依次相交于點(diǎn)A、B、C,依然從圖形直觀上觀察,OA
于是,這條特征可以這樣描述:定義y=x與反比例函數(shù)y=k/x(k>0)第一象限內(nèi)的分支交點(diǎn)到原點(diǎn)的線段長(zhǎng)度為雙曲線到原點(diǎn)的距離。此時(shí)k越大,雙曲線離原點(diǎn)越遠(yuǎn)。
類似的,對(duì)于該雙曲線位于第三象限內(nèi)的描述,依照相同標(biāo)準(zhǔn),而對(duì)于后續(xù)的k<0的情況,也適用。
中考真題
2019年湖北省宜昌市中考數(shù)學(xué)第24題第1小題,正是考察圖形直觀,原題如下:
我們看這道題的第1小題第2個(gè)空,當(dāng)雙曲線y=k/x與正方形ABCD有四個(gè)交點(diǎn),這句話如何理解?
此題圖1中,我們看到了k>0時(shí)的一種特殊情況,以此為基準(zhǔn)進(jìn)行動(dòng)態(tài)想像,雙曲線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí),與正方形有在個(gè)交點(diǎn),依據(jù)反比例函數(shù)圖象第四個(gè)特征,當(dāng)k增大時(shí),雙曲線離原點(diǎn)越來越遠(yuǎn),而題中正方形對(duì)角線BD恰好是y=x的一部分,因此,k>0時(shí),只要k值比經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)小即可,所以0
雖然在k<0時(shí),并沒有y=-x進(jìn)行參照,但我們可以作出這條直線,借助雙曲線對(duì)稱性進(jìn)行觀察,如下圖:
教學(xué)反思
反比例函數(shù)圖象特征,并不一定要拘泥于教材,對(duì)于雙曲線離原點(diǎn)距離這一描述,依然屬于反比例函數(shù)圖象變化。教材中之所以未對(duì)此種圖象特征進(jìn)行明文歸納,考慮到初中階段學(xué)生的理解水平,同時(shí)這條性質(zhì)也比較容易通過幾何直觀得到,所以不作特別要求。
但是在平時(shí)教學(xué)中,學(xué)生面對(duì)教師提出的課堂探索要求,多半會(huì)有個(gè)別人提出來,這時(shí)不宜回避,而應(yīng)該用較為準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行描述。在備課時(shí),也應(yīng)該充分考慮到教材中所提問題,學(xué)生可能的回答。如果僅僅是向?qū)W生要求,觀察這三條反比例函數(shù)圖象特征,那么學(xué)生思維便不會(huì)受太大約束,如果針對(duì)教材上三個(gè)問題進(jìn)行提問,便有可能失去探索這一特征的機(jī)會(huì)。
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