2023年初中數(shù)學(xué)如何學(xué)習(xí)初中函數(shù)（一次函數(shù)篇）

復(fù)習(xí)

復(fù)習(xí)是個好習(xí)慣，在進(jìn)行本篇內(nèi)容之前我們先回憶上一篇內(nèi)容得出的結(jié)論：(還指望我粘貼復(fù)制嗎，當(dāng)然要你背啦)

復(fù)習(xí)完畢，開始正題

1.解析式的由來

上一篇的內(nèi)容，幫我們建立了幾何觀念上的函數(shù)即：函數(shù)是線。只有幾何觀念，對于函數(shù)來講是完全不夠的，屬于缺胳膊少腿，不完整。數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)，沒有代數(shù)就沒有靈魂，所以今天我們來把它的靈魂給它裝進(jìn)去。畢竟是要裝靈魂嘛，是個技術(shù)活，那就先拿最簡單的練練手，也就是一次函數(shù)，看看它的軀殼

噫，花里胡哨，亂七八糟。先拿一個出來，用放大鏡看一下

嗯，有那么點兒意思了，原來函數(shù)線真的是由坐標(biāo)點組成的，我們上一篇的理論就被實錘了。這點被實錘了，那是不是就可以這樣理解函數(shù)的代數(shù)化=坐標(biāo)點的代數(shù)化。而且，非常巧的是，每一個坐標(biāo)點都有著相對應(yīng)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)來表達(dá)其身份地位，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)又剛好是數(shù)字。蘋果都砸到你頭上了，下一步該怎么辦不用我多說了吧，當(dāng)然是把它們列出來好好觀察啊。

(5，9)(4，6)(3，3)(2，0)(1，-3)(0，-6)(-1，-9)

觀察完畢后，按照牛頓的做法，你是不是就想問：為什么這些點在一條直線上?然后我就想一粉筆頭砸你頭上，忘了前一篇的內(nèi)容了?因為它們有規(guī)律啊!!!既然是規(guī)律，那就是變化，是變化按照我們的通用解法，先來個后面的減前面的。這里是坐標(biāo)點，所以我們就后面的橫坐標(biāo)減前面的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)同理。

先來橫坐標(biāo)

4-5=-1

3-4=-1

2-3=-1

1-2=-1

可知都等于-1

再來縱坐標(biāo)

6-9=-3

3-6=-3

0-3=-3

-3-0=-3

可知都等于-3

看出道道了嘛，反正我看出來了，那就是在相鄰坐標(biāo)點之間，橫坐標(biāo)減1，縱坐標(biāo)要減3，反過來橫坐標(biāo)加1，縱坐標(biāo)要加3。這到底對不對呢，不妨做一下驗證，按照這個思路，分別找出(5，9)前面的坐標(biāo)點和(-1，-9)后面的坐標(biāo)點。(5，9)前面坐標(biāo)點的橫坐標(biāo)為6，從5到6橫坐標(biāo)加1，那縱坐標(biāo)加3即點(6，9)同理可得(-1，-9)后面的坐標(biāo)點為(-2，-12)，描點連線

很明顯，新得出的點和原來的點是在一條直線上，證明我們得到的規(guī)律是沒有錯的。既然相鄰坐標(biāo)點之間，有著橫坐標(biāo)減1，縱坐標(biāo)要減3，反過來橫坐標(biāo)加1，縱坐標(biāo)要加3這樣的規(guī)律，是不是就萬事大吉了呢?顯然不是，比如，請你找出(-2，-12)之后的第50個坐標(biāo)點。那你豈不是要重復(fù)上面的做法50遍?50遍你說你行，好，那請問第2020個呢?你還說你行，我再問第20102949203個呢?不行了吧。too young too simple。這就說明我們得到的規(guī)律不夠普遍，不足以用于計算，需要繼續(xù)推廣化。

我們在小學(xué)二年級學(xué)過加減法的推廣運算是乘除法，我們就把規(guī)律總結(jié)為乘除的規(guī)律即縱坐標(biāo)的增加量是橫坐標(biāo)增加量的3倍。先驗證一下符不符合原來的比如(5，9)和(2，0)用一下新得到的規(guī)律

從5到2增加了-3，縱坐標(biāo)就要增加-9，9+(-9)=0，bingo正確。

后的第50個坐標(biāo)點再計算(-2，-12)之后的第50個坐標(biāo)點

在-2后面，又是第50個，所以橫坐標(biāo)=-52，根據(jù)規(guī)律有縱坐標(biāo)=-12-50*3=-162

同理可計算任意坐標(biāo)點

觀察計算過程可知，計算本條直線的任意坐標(biāo)點，需要用到我們的規(guī)律和一個已知坐標(biāo)點。

滿足于本條直線坐標(biāo)點的規(guī)律找到了，別忘了我們的最終目標(biāo)：規(guī)律代數(shù)化。我們?nèi)我饨o出本條直線上一坐標(biāo)點(x，y)，選取(5，9)為基準(zhǔn)坐標(biāo)點。

縱坐標(biāo)的增加量

y-9

橫坐標(biāo)的增加量

x-5

縱坐標(biāo)的增加量是橫坐標(biāo)增加量的3倍

y-9=3*(x-5)

得y=3x-6

所以y=3x-6代表了本條線的所有坐標(biāo)點，進(jìn)而代表了本條直線

還沒完，這條線是3倍，那有沒有4倍，5倍，6倍，肯定是有的，所以我們就令k=任意常數(shù)，順理成章的就把這個規(guī)律推廣到了所有一次函數(shù)線即在一次函數(shù)線中，縱坐標(biāo)的增加量是橫坐標(biāo)增加量的k倍。現(xiàn)在要完成這條規(guī)律代數(shù)化，以表達(dá)所有的一次函數(shù)線。已知一條一次函數(shù)線，縱坐標(biāo)的增加量是橫坐標(biāo)增加量的k倍，已知坐標(biāo)點(m，n)，求任意坐標(biāo)點(x，y)。

縱坐標(biāo)的增加量

y-n

橫坐標(biāo)的增加量

x-m

縱坐標(biāo)的增加量是橫坐標(biāo)增加量的k倍

y-n=k*(x-m)

y=kx+n-km(看起來太復(fù)雜不清爽)

不妨令b=n-km

所以y=kx+b

大功告成y=kx+b就是所有一次函數(shù)線的代表

做了這么多的工作，終于把一次函數(shù)從直線變成了y=kx+b這樣一條代數(shù)式，又是求解又是分析的，給這條代數(shù)式起個名字吧就叫解析式。幾何方面的一次函數(shù)都有定義，代數(shù)方面的自然不能少，結(jié)合以上內(nèi)容就是一次函數(shù)的定義形如y=kx+b(k，b為常數(shù)，k≠0)，其中x為自變量y為因變量，叫做一次函數(shù)

老規(guī)矩總結(jié)一下

perfect，接下來看性質(zhì)

2.相關(guān)性質(zhì)

說到性質(zhì)，必然就是考察的重點，也就是痛點了，怎么才能把性質(zhì)記好?喂，這是數(shù)學(xué)欸，當(dāng)然是要理解記憶最好了啊。那我要理解誰呢?喂，解析式都給你了，你看啊，y=kx+b，當(dāng)然是理解k和b怎么影響函數(shù)了啊

k值怎么影響函數(shù)

從定義里我們知道k=任意常數(shù)，我們在小學(xué)二年級學(xué)過數(shù)是有大小有正負(fù)的，就從這兩個方面來看k值對于一次函數(shù)線的影響。

(1)正負(fù)

在研究k值，根據(jù)控制變量法，需保持b值不變，干脆一點直接讓b=0。列幾個k值正負(fù)不同的解析式，然后作圖觀察

y=2x | y=4x | y=12x | y=-2x | y=-8x | y=-12x

作圖流程：求點坐標(biāo)、描點、連線

看圖很容易發(fā)現(xiàn)

k>0的一次函數(shù)，圖像都經(jīng)過第一、第三象限

k<0的一次函數(shù)，圖像都經(jīng)過第二、第四象限

由此可知k值的正負(fù)影響著一次函數(shù)坐標(biāo)點的分布

k的正負(fù)不同y隨x的變化情況也不同

(2)大小

研究方法同上，還是它們幾個

y=2x | y=4x | y=12x | y=-2x | y=-8x | y=-12x

作圖流程：求點坐標(biāo)、描點、連線

可以看到紅、綠、藍(lán)三條線的k值分別為2、4、12，很容易發(fā)現(xiàn)

當(dāng)k>0時

k值越大，圖像與x軸夾角就越大

圖像與x軸夾角永遠(yuǎn)都是銳角

當(dāng)k<0時

k值越大，圖像與x軸夾角也是越大

圖像與x軸夾角永遠(yuǎn)都是鈍角

因此k值有個額外稱呼叫：斜率

b值怎么影響函數(shù)

跟k值的研究方法意義，但是我們不能讓k=0，因為定義不允許，因此我們保持k值不變。列幾個k值相同b值不同的大家觀察一下就好了。

y=2x+1 | y=2x+3 | y=2x+5 | y=2x-1 | y=2x-3 | y=2x-5

作圖

也非常明顯

b>0時

圖像與y軸交于y軸正半軸

b值越大，與y軸交點越靠上

b<0時

圖像與y軸交于y軸負(fù)半軸

b值越小，與y軸交點越靠下

還可以發(fā)現(xiàn)

k值相同，直線都是平行的

這些直線都可以用y=2x向上或向下平移相應(yīng)個單位得到

b值也有個額外稱呼叫：截距

小段總結(jié)

3.相關(guān)考點

(1)圖像考察

#1給圖像辨別k值、b值正負(fù)與大小(經(jīng)常與其它函數(shù)結(jié)合)

#2給b值、k值辨別圖像

#3圖像實際應(yīng)用(k>0，第一象限內(nèi))

原理：x值相同，k值越大，y值越大

#4如圖所示，當(dāng)x=5時，y值大小依次是：紅線<綠線<藍(lán)線

##考察方式為，把橫縱坐標(biāo)U/I即為初三物理電學(xué)圖像考察，換成m/v即為初二物理質(zhì)量與密度圖像考察，換成F/V即為初二浮力圖像考察，同理還有v-t圖、s-t圖等等，貫穿初高中物理，高中物理還可以用圖像解決復(fù)雜勻加勻減的位移問題

#5化學(xué)也同理可換

#6學(xué)數(shù)學(xué)的同時，把這么多的理化問題都學(xué)了，我就問你愛了沒有。真是撿到寶了呢，哈哈哈哈哈

(2)求解析式

#1這個題目的原理就是兩點確定一條直線

知道任意兩點坐標(biāo)，代入y=kx+b，可得關(guān)于k、b的二元一次方程，解出k、b就可以了，不多說。不會就去學(xué)一下二年級學(xué)過的解二元一次方程

#2你也可以先求k，再用我教你的計算方法，不過還是推薦課本的解法，還能練習(xí)一下解二元一次方程

(3)解應(yīng)用題

#1關(guān)鍵在于設(shè)未知數(shù)，列方程，復(fù)雜一點的可能要結(jié)合圖像，考察“數(shù)形結(jié)合”這個數(shù)學(xué)思想

#2動點問題里如果關(guān)系式為一次函數(shù)關(guān)系，要結(jié)合取值范圍來求解

(4)與其它函數(shù)組成綜合問題

#1求面積

#2求長度

#3求相應(yīng)的最大最小值，要結(jié)合取值范圍來看

#4求坐標(biāo)點

(5)函數(shù)與方程

#1只需要理解一點，當(dāng)y=0時，一次函數(shù)就變成了kx+b=0，也就變成了一元一次方程。

#2從代數(shù)層面看坐標(biāo)點(x，0)的橫坐標(biāo)是對應(yīng)方程的解

#3從幾何層面看一次函數(shù)圖像與x軸交點為一個方程點，理解好這里對于二次函數(shù)根的理解很有幫助

(6)函數(shù)與不等式

#1這里還是“數(shù)形結(jié)合”思想的應(yīng)用

#2比如2x+1>0，可以看出y=2x+1這個函數(shù)的y>0，也就是x軸上方的圖像

#3如2x+1>-3x+4，可以看成y1=2x+1與y2=-3x+4這兩個函數(shù)圖像的比較

##第一步要找到交點，看圖可知交點坐標(biāo)為(3/5，11/5)

##沒有交點就是沒有解

##第二步要分兩部分看，交點左邊和交點右邊

##該圖可知交點左邊，藍(lán)線騎在紅線頭上，所以是2x+1<-3x+4對應(yīng)不等式的解為x<3/5

##交點右邊是紅線騎在藍(lán)線頭上，所以是2x+1>-3x+4對應(yīng)不等式的解為x>3/5

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