2023年初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)：為什么√2不是有理數(shù)

有理數(shù)的概念

有理數(shù)是正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)和分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱，是整數(shù)和分?jǐn)?shù)的集

正整數(shù)和正分?jǐn)?shù)合稱為正有理數(shù)，負(fù)整數(shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)合稱為負(fù)有理數(shù)。因而有理數(shù)集的數(shù)可分為正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)和零。

有理數(shù)集是整數(shù)集的擴(kuò)張，在有理數(shù)集內(nèi)，加法、減法、乘法、除法4種運(yùn)算通行無阻。

我們知道，有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)，如果把整數(shù)看作是分母為1的分?jǐn)?shù)，那么任意一個(gè)有理數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)p/q的形式，反之能寫成分?jǐn)?shù)形式的數(shù)都是有理數(shù)。

分析

下面我們來看√2 假設(shè)√2有分?jǐn)?shù)形式，即√2=p/q，其中p和q是整數(shù)且最大公約數(shù)是1，于是p=√2q，兩邊平方得p=2q，于是p是偶數(shù)。

由于只有偶數(shù)的平方才得偶數(shù)，所以p也是偶數(shù)。 設(shè)p=2s，s是整數(shù)，則4s=2q，即q=2s，因此，q是偶數(shù)。

這樣，p和q都是偶數(shù)，一定有公約數(shù)2，這與p，q的最大公約數(shù)是1相矛盾，因此√2不能寫成分?jǐn)?shù)的形式，即√2不是有理數(shù)。

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