2023年初中數(shù)學中函數(shù)的圖像的教學

一、 基本內(nèi)容

在初中數(shù)學階段，函數(shù)主要指：一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，而我們對于函數(shù)的考察主要集中在對函數(shù)圖像與在實際問題中的函數(shù)。本文目的就是在于交流，教師應該講授這些知識，換句話說，就是我們在傳授這些知識時

，應該對它進行怎么樣的加工。

總的來說，就是把圖像問題與系數(shù)聯(lián)系起來，并且通過動態(tài)的觀察，讓學生明白不同系數(shù)在不同函數(shù)中的幾何意義;形成通過系數(shù)來研究圖像的思維方式。

二、 幾點原則

在教學中，我個人通過對不同的學生的一對一輔導，發(fā)現(xiàn)了在教學過程不少需要注意的誤區(qū)：

1.避免死記硬背。數(shù)學里死記硬背還是很奇怪的一件事，不過我們來看下浙教版的教科書：

浙教版八年級上·一次函數(shù)的圖像

圖中的黑體字是本書中，第一次直接寫出有關于k與圖像的關系有關的結(jié)論。因此，很多學生在提到這個問題的時候，都會完整的背一遍這句話，誠然這種做法短期內(nèi)沒有太大危害，甚至可以說通過大量的題型訓練遲早會掌握，但是這顯然沒有讓學生產(chǎn)生比較好的理解，對于之后的學習并沒有好處。而很多學校的學生教科書上，我甚至看到了老師讓學生背的好幾句話，例如：“k>0，b>0，過一、二、三象限”，這樣的句子。有意思的是，老師忘記寫b=0的情況，不少學生只要你一問他b=0圖像過哪幾個象限，會立刻發(fā)懵，稍微想一想才反映過來，那就是正比例函數(shù)了，但是這樣的學生會在正比例函數(shù)是不是一次函數(shù)的問題上，再度發(fā)懵。

2. 講解時多用中文術語。這是個小細節(jié)，不注意的話對于大部分學生其實沒有影響。但是如果題目中出現(xiàn)了：y=bx+k，有一部分學生會發(fā)昏的。推薦用：斜率、截距這兩個詞。不用深刻的理解，斜率讓學生暫時理解成，一次函數(shù)一般式中x的系數(shù);截距指的是一般式中的常數(shù)項。其實這兩個名詞很巧妙，斜率這一個詞基本解釋了k的幾何意義，對后續(xù)學習也有好處。

3.盡量用動態(tài)演示。不需要做一個很專業(yè)的動畫軟件，其實用幾何畫板就可以動態(tài)演示，操作也很簡單。動態(tài)的演示不僅僅是有利于學生的記憶，它可以讓知識形象化。“傾斜程度大圖像，k的絕對值也越大”，這句話基本不會默寫，但是從自然語言轉(zhuǎn)化的數(shù)學與語言，再轉(zhuǎn)化成圖像還是很麻煩的。我在課上通過拖動k值演示一下，學生的語言很不規(guī)范，但是基本可以說出k如果變大會怎么“轉(zhuǎn)”，變小怎么“轉(zhuǎn)”。在學生腦海中出現(xiàn)的是一副動態(tài)圖，語言反過來只是表達。如果對于學有余力的學生，你甚至可以問一句，繞著誰轉(zhuǎn)呢[(0,b)]。

接下來我以一次函數(shù)為例說一說，這一堂課，在上述原則下我們應該怎么講，講什么。

三、 以一次函數(shù)為例

(一)教科書中的暗示

接著上面的例子，單調(diào)性真的是本書第一次提及函數(shù)圖像與系數(shù)的關系嗎?答案是否定的，在前一部分的練習中，有這么一道題：

仔細觀察一下，會發(fā)現(xiàn)這道題的數(shù)字出的很有特點顯然是要讓學生找規(guī)律了，而問題是與坐標軸的交點，那么我們不妨先把斜率放下，相比于與x軸的交點，與y軸的交點在這題是很直觀的。為什么后兩幅圖像與y軸交點是一樣的?他們什么是一樣的，什么不一樣?與y軸的交點可能與什么有關?

這里就首先出現(xiàn)了對截距的知識，教師必須在這里提及誰決定了與y軸的交點。此處的提及要強調(diào)兩點：第一，與y軸交點就是(0，b)，截距就是與y軸交點的縱坐標;第二，與斜率沒有任何關系，與y軸的交點與k值無關。第二點尤其重要，這讓k與b的分工徹底區(qū)分開，表示了b決定了圖像的位置，k不決定位置。如果聯(lián)想到二次函數(shù)，會發(fā)現(xiàn)很類似的結(jié)論，與拋物線形狀有關的其實只有a，b、c都在一定程度上影響了拋物線的位置，這點在復習的時候很好用。

(杭州英特外國語學校初中數(shù)學九年級上2017年第三次月考)例題：在同一坐標平面內(nèi)，圖象不可能由函數(shù)y=2x2+1的圖象通過平移變換、軸對稱變換得到的函數(shù)是(　　)

A.()﹣y=2(x+1)2﹣1B.y=2x2+3

C.y=−2x2−1D.y=12x2−1

同時，這也就解釋了為什么b=0的時候會過原點，在演示中，教師保持k不變，學生就可以輕易的看出，隨著b的變化，直線是在上下平移的。而后才出現(xiàn)了單調(diào)性的結(jié)論。如果說前一個問題解決了b的幾何意義，那么這里就是要解決k的幾何意義。也就給出了我們教學的基本思路：

1. k和b應該分開理解，讓學生了解它們各自的分工，并且互不干擾。

2. 從難易程度上來說b相對簡單，應該先講b再講k。

因此這一堂課其實只有兩個點：k決定了直線的傾斜角度，b決定了圖像的位置。

(二)k的教法

在講解完截距后，k其實就相對好講，引入也很簡單：“b決定了圖像與y軸的交點，那么k決定了什么呢?”這里大可以讓學生猜一猜，會有猜與x軸交點的，這其實也不算錯，之后可以作為一個補充結(jié)論，不過意義不太大。

在這里可以動態(tài)演示，當截距不變時，k上下變化圖像會如何變化?從感覺上來看，學生都會發(fā)現(xiàn)是在繞著一個點旋轉(zhuǎn)，可以問一句這個點是什么?(0，b)，這也算驗證了之前的所學，這里可以讓學生自己描述自己的看法，教師要聽到聯(lián)系性的描述。不一定是非常準確的描述，要聽到k變大變小時，圖像會如何變化這樣發(fā)現(xiàn)數(shù)字和圖像直接因果關系的句子就算成功。那么我們要總結(jié)出三個結(jié)論：

1. k的正負與圖像的上升和下降。僅僅依靠這個，就可以與之前的知識結(jié)合起來解決一些題型了：

例題：直線y=kx+b經(jīng)過一、三、四象限，則直線y=bx-k的圖象只能是圖中的( )

一次函數(shù)的位置與系數(shù)的關系

不要讓學生去記復雜的東西，把情況只分成兩類k的正負與上升和下降，不然過段時間不用絕對會忘。

2. 上升下降與k的正負，反過來也可以快速說出。這點就不多做解釋，b的正負問題可以一起解決。

3. 傾斜程度與k的大小問題。有的老師會問，記得k大于0一定過一、三，反之一定過二四，不演示行不行�？隙ㄊ遣缓线m的，比如：

k與傾斜角

例題：如圖，三個正比例函數(shù)對應的解析式為①y=ax;②y=bx;③y=cx，則a、b、c的大小關系是( )

A.a>b>c B.c>b>a C.b>a>c D.b>c>a

此處一定要強調(diào)傾斜角度指的是與x軸的夾角，夾角越大k的絕對值越大。這道題很適合拿來做，因為學生可能會在③這條線上出錯，此時它的k是負數(shù)，肯定是最小的。

在最后一定要反過來強調(diào)，斜率只決定了傾斜角度，截距只決定了位置，關鍵在于“只”，它是讓問題簡單化的關鍵。

(三)為什么這樣教

1. 這種方式在我實踐下來基本所有學生都可以理解，相比于死記硬背，這也是效率明顯比較高的方式。

2. 對后續(xù)的教學有利。實際上，我們這一課之后會涉及到平移的有關問題，在這種k和b完全分開的教學后，平移我們起碼可以讓學生明白，k是一定不會變的。如：

例題：如果直線y=m2x+m−1是由直線y=x平移得到的不同直線，那么是經(jīng)過怎么樣的平移得到的?

而這之后，我們也可以方便的通過圖像向?qū)W生解釋，為什么增減性問題只與k有關，因為k決定了上升或者下降，b只決定了圖像位置。

另一方面，其中將各個系數(shù)分開理解的理解方式，對后續(xù)二次函數(shù)的教學會有好處。

3.兼顧到了優(yōu)等生。在習題中，我們可以以此為基礎，夾雜難度比較高的題型，補充一些難度高，教材中不要求掌握的知識點如：

(1)兩直線平行的條件：k相等b不等。

(2)兩直線垂直的條件探究：斜率互為負導數(shù)。

(3)一些利用幾何意義解決的難題：

例題：已知A(3，5)，B(5，4)，若直線y=kx-2k與線段AB有交點，那么k的取值范圍是_________.

比如上題就是利用過定點(2，0)，只要考慮k剛好交于A、B點的情況，就可以判斷出k的范圍。

四、 其他函數(shù)的要點一覽

(一)反比例函數(shù)

1. k的正負決定了象限

2. k的絕對值大小決定了圖像與原點的距離，例題：

(2010大港區(qū)一模)如圖，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角頂點A在直線y=x上，其中A點的橫坐標為1，且兩條直角邊AB、AC分別平行于x軸、y軸，若雙曲線y=kx(k≠0)與△ABC有交點，則k的取值范圍是____________________-.

3. 雙曲線上任意一點向x軸、y軸作垂線段，與x軸、y軸圍成的矩形面積為|k|.

例題：在平面直角坐標系中，A，B是反比例函數(shù)y=4x在同一支上的不同兩點，過A，B分別向x軸y軸作垂線，垂足為E、F，求證：EF∥AB.

(二)二次函數(shù)

1. 一般式、頂點式、交點式的a(二次項系數(shù))意義相同，都決定了開口大小和方向。A的絕對值越大開口越小。

2. 在頂點式中，可以直接讀出頂點坐標以及對稱軸

3. 在一般式中：(1)c是截距(2)b有左同右異(3)頂點坐標公式

4. 在交點式中，可以直接讀出與x軸的交點，以及知道怎么樣計算對稱軸位置。

5. 了解Δ的數(shù)性與圖像的關系，(1)Δ>0，與x軸有兩個交點;(2)Δ=0與x軸有一個交點;(3)Δ小于0與x軸無交點

*6.a+b+c與a-b+c分別是x=1和x=-1時的y值。

五、結(jié)語

本文只討論怎么樣把有關函數(shù)圖像的知識點講精，所以很多考點比如利用二次函數(shù)解決最值問題，不是不重要，而是不在本文的討論范圍內(nèi)。我最想寫的東西，是想表明，如果一個教師想完成教科書上的目標，那么我們有哪些東西要講透。這次列舉的浙江版教科書，很多東西在參考用書上可能會寫，但對于年輕教師來說，其實最大的難點在于要講什么。講題目容易，講課難。

課本上好像就那么點東西，有時候覺得學生自己看書都能看懂。我覺得不是這樣的，老師還是要把學生想得笨一點，書本如果說是告訴了學生“是這么一回事“，教師的工作就是告訴學生”怎么理解這個內(nèi)容“”為什么會這樣“”怎么樣在你的記憶中去編排它“。按照我的恩師的說法，一個教師的水平，就體現(xiàn)在怎么把復雜的東西說得簡單，很多學生搞不懂函數(shù)，其實這就是老師沒抓住函數(shù)的本質(zhì)。一次函數(shù)就學兩個字母k和b。我們的任務不是把題型分化，而是把所有題型都轉(zhuǎn)化成k和b兩個問題。要讓學生覺得原來所有的題目都是一個樣子，”萬變不離其宗“。

我不太寫這些東西，水平也有限的很，不過很高興的是，之前發(fā)的文章雖然沒什么反響，但是也有幾個跟我一樣對教學有興趣的年輕老師想法兒加了我微信，想有時候探討一下教學。若要說我有什么想做的，就是盡可能多的預見更多同好，沒有太多想法，就是想知道怎么把課上好，互相交流經(jīng)驗。同志雖少，但總聊勝于無。

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