來源:網(wǎng)絡(luò)資源 2022-11-09 14:22:16
►三角形中常見輔助線的添加
1. 與角平分線有關(guān)的
(1) 可向兩邊作垂線。(2)可作平行線,構(gòu)造等腰三角形
(3)在角的兩邊截取相等的線段,構(gòu)造全等三角形
2. 與線段長度相關(guān)的
(1) 截長:證明某兩條線段的和或差等于第三條線段時,經(jīng)常在較長的線段上截取一段,使得它和其中的一條相等,再利用全等或相似證明余下的等于另一條線段即可
(2) 補(bǔ)短:證明某兩條線段的和或差等于第三條線段時,也可以在較短的線段上延長一段,使得延長的部分等于另外一條較短的線段,再利用全等或相似證明延長后的線段等于那一條長線段即可
(3)倍長中線:題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線,方法是將中線延長一倍,再將端點連結(jié),便可得到全等三角形。
(4)遇到中點,考慮中位線或等腰等邊中的三線合一。
3. 與等腰等邊三角形相關(guān)的
(1)考慮三線合一
(2)旋轉(zhuǎn)一定的度數(shù),構(gòu)造全都三角形,等腰一般旋轉(zhuǎn)頂角的度數(shù),等邊旋轉(zhuǎn)60 °
►四邊形中常見輔助線的添加
特殊四邊形主要包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解決一些和四邊形有關(guān)的問題時往往需 要添加輔助線。下面介紹一些輔助線的添加方法。
1. 和平行四邊形有關(guān)的輔助線作法平行四邊形是最常見的特殊四邊形之一,它有許多可以利用性質(zhì),為了利用這些性質(zhì)往往需要添加輔助線構(gòu)造平行四邊形。
(1) 利用一組對邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形
(2)利用兩組對邊平行構(gòu)造平行四邊形
(3)利用對角線互相平分構(gòu)造平行四邊形
2. 與矩形有輔助線作法
(1)計算型題,一般通過作輔助線構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問題
(2)證明或探索題,一般連結(jié)矩形的對角線借助對角線相等這一性質(zhì)解決問題.和矩形有關(guān)的試題的輔助線的作法較少.
3. 和菱形有關(guān)的輔助線的作法
和菱形有關(guān)的輔助線的作法主要是連接菱形的對角線,借助菱形的判定定理或性質(zhì)定定理解決問題.
(1)作菱形的高
(2)連結(jié)菱形的對角線
4. 與正方形有關(guān)輔助線的作法
正方形是一種完美的幾何圖形,它既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,有關(guān)正方形的試題較多.解決正 方形的問題有時需要作輔助線,作正方形對角線是解決正方形問題的常用輔助線
5. 與梯形有關(guān)的輔助線的作法
和梯形有關(guān)的輔助線的作法是較多的.主要涉及以下幾種類型:
(1)作一腰的平行線構(gòu)造平行四邊形和特殊三角形
(2)作梯形的高,構(gòu)造矩形和直角三角形
(3)作一對角線的平行線,構(gòu)造直角三角形和平行四邊形
(4)延長兩腰構(gòu)成三角形
(5)作兩腰的平行線等
►圓中常見輔助線的添加
1. 遇到弦時(解決有關(guān)弦的問題時)
常常添加弦心距,或者作垂直于弦的半徑(或直徑)或再連結(jié)過弦的端點的半徑。 作用:
(1) 利用垂徑定理 (2)利用圓心角及其所對的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系 (3)利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形,根據(jù)勾股定理求有關(guān)量
2. 遇到有直徑時,常常添加(畫)直徑所對的圓周角
作用:利用圓周角的性質(zhì)得到直角或直角三角形
3. 遇到90度的圓周角時 ,常常連結(jié)兩條弦沒有公共點的另一端點
作用:利用圓周角的性質(zhì),可得到直徑
4. 遇到弦時,常常連結(jié)圓心和弦的兩個端點,構(gòu)成等腰三角形,還可連結(jié)圓周上一點和弦的兩個端點
作用:(1)可得等腰三角形
(2)據(jù)圓周角的性質(zhì)可得相等的圓周角
5. 遇到有切線時,常常添加過切點的半徑(連結(jié)圓心和切點)作用:利用切線的性質(zhì)定理可得OA⊥AB,得到直角或直角三角形常常添加連結(jié)圓上一點和切點
作用:可構(gòu)成弦切角,從而利用弦切角定理。
6. 遇到證明某一直線是圓的切線時(1) 若直線和圓的公共點還未確定,則常過圓心作直線的垂線段。
作用:若OA=r,則l為切線
(2) 若直線過圓上的某一點,則連結(jié)這點和圓心(即作半徑) 作用:只需證OA⊥l,則l為切線
(3) 有遇到圓上或圓外一點作圓的切線
7. 遇到兩相交切線時(切線長)
常常連結(jié)切點和圓心、連結(jié)圓心和圓外的一點、連結(jié)兩切點 作用:據(jù)切線長及其它性質(zhì),可得到
(1)角、線段的等量關(guān)系 (2) 垂直關(guān)系 (3) 全等、相似三角形
8. 遇到三角形的內(nèi)切圓時
連結(jié)內(nèi)心到各三角形頂點,或過內(nèi)心作三角形各邊的垂線段 作用:利用內(nèi)心的性質(zhì),可得
(1) 內(nèi)心到三角形三個頂點的連線是三角形的角平分線
(2)內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等
9. 遇到三角形的外接圓時,連結(jié)外心和各頂點
作用:外心到三角形各頂點的距離相等
10. 遇到兩圓外離時(解決有關(guān)兩圓的外、內(nèi)公切線的問題)
常常作出過切點的半徑、連心線、平移公切線,或平移連心線 作用:(1)利用切線的性質(zhì); (2)利用解直角三角形的有關(guān)知識
11. 遇到兩圓相交時 常常作公共弦、兩圓連心線、連結(jié)交點和圓心等
作用:(1) 利用連心線的性質(zhì)、解直角三角形有關(guān)知識 (2) 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) (3)利用兩圓公共的圓周的性質(zhì) (4) 垂徑定理
12.遇到兩圓相切時
常常作連心線、公切線 作用:(1) 利用連心線性質(zhì)(2)切線性質(zhì)等
13. 遇到三個圓兩兩外切時
(1)常常作每兩個圓的連心線 (2)作用:可利用連心線性質(zhì)14. 遇到四邊形對角互補(bǔ)或兩個三角形同底并在底的同向且有相等“頂角”時 常常添加輔助圓
作用:以便利用圓的性質(zhì)
輔助線記憶歌訣人說幾何很困難,難點就在輔助線。輔助線,如何添?把握定理和概念。還要刻苦加鉆研,找出規(guī)律憑經(jīng)驗。圖中有角平分線,可向兩邊作垂線。也可將圖對折看,對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線,等腰三角形來添。角平分線加垂線,三線合一試試看。線段垂直平分線,常向兩端把線連。要證線段倍與半,延長縮短可試驗。三角形中兩中點,連接則成中位線。三角形中有中線,延長中線等中線。平行四邊形出現(xiàn),對稱中心等分點。梯形里面作高線,平移一腰試試看。平行移動對角線,補(bǔ)成三角形常見。證相似,比線段,添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換,尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難,等量代換少麻煩。斜邊上面作高線,比例中項一大片。半徑與弦長計算,弦心距來中間站。圓上若有一切線,切點圓心半徑連。切線長度的計算,勾股定理最方便。要想證明是切線,半徑垂線仔細(xì)辨。是直徑,成半圓,想成直角徑連弦。弧有中點圓心連,垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦,直徑和弦端點連。弦切角邊切線弦,同弧對角等找完。要想作個外接圓,各邊作出中垂線。還要作個內(nèi)接圓,內(nèi)角平分線夢圓如果遇到相交圓,不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓,經(jīng)過切點公切線。若是添上連心線,切點肯定在上面。要作等角添個圓,證明題目少困難。輔助線,是虛線,畫圖注意勿改變。假如圖形較分散,對稱旋轉(zhuǎn)去實驗;咀鲌D很關(guān)鍵,平時掌握要熟練。解題還要多心眼,經(jīng)?偨Y(jié)方法顯。切勿盲目亂添線,方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選,困難再多也會減。虛心勤學(xué)加苦練,成績上升成直線。幾何證題難不難,關(guān)鍵常在輔助線;知中點、作中線,中線處長加倍看;底角倍半角分線,有時也作處長線;線段和差及倍分,延長截取證全等;公共角、公共邊,隱含條件須挖掘;全等圖形多變換,旋轉(zhuǎn)平移加折疊;中位線、常相連,出現(xiàn)平行就好辦;四邊形、對角線,比例相似平行線;梯形問題好解決,平移腰、作高線;兩腰處長義一點,亦可平移對角線;正余弦、正余切,有了直角就方便;特殊角、特殊邊,作出垂線就解決;實際問題莫要慌,數(shù)學(xué)建模幫你忙;圓中問題也不難,下面我們慢慢談;弦心距、要垂弦,遇到直徑周角連;切點圓心緊相連,切線常把半徑添;兩圓相切公共線,兩圓相交公共弦;切割線,連結(jié)弦,兩圓三圓連心線;基本圖形要熟練,復(fù)雜圖形多分解。
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