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2023年初中數(shù)學(xué)：幾何模型及構(gòu)造解析

來(lái)源：網(wǎng)絡(luò)資源 2022-10-28 17:50:42

全等變換

　　平移：平行等線段(平行四邊形)

　　對(duì)稱(chēng)：角平分線或垂直或半角

　　旋轉(zhuǎn)：相鄰等線段繞公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

　　對(duì)稱(chēng)全等模型

　　說(shuō)明：以角平分線為軸在角兩邊進(jìn)行截長(zhǎng)補(bǔ)短或者作邊的垂線，形成對(duì)稱(chēng)全等。兩邊進(jìn)行邊或者角的等量代換，產(chǎn)生聯(lián)系。垂直也可以做為軸進(jìn)行對(duì)稱(chēng)全等。

　　對(duì)稱(chēng)半角模型

　　說(shuō)明：上圖依次是45°、30°、22.5°、15°及有一個(gè)角是30°直角三角形的對(duì)稱(chēng)(翻折)，翻折成正方形或者等腰直角三角形、等邊三角形、對(duì)稱(chēng)全等。

　　旋轉(zhuǎn)全等模型

　　半角：有一個(gè)角含1/2角及相鄰線段

　　自旋轉(zhuǎn)：有一對(duì)相鄰等線段，需要構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等

　　共旋轉(zhuǎn)：有兩對(duì)相鄰等線段，直接尋找旋轉(zhuǎn)全等

　　中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)：倍長(zhǎng)中點(diǎn)相關(guān)線段轉(zhuǎn)換成旋轉(zhuǎn)全等問(wèn)題

　　旋轉(zhuǎn)半角模型

　　說(shuō)明：旋轉(zhuǎn)半角的特征是相鄰等線段所成角含一個(gè)二分之一角，通過(guò)旋轉(zhuǎn)將另外兩個(gè)和為二分之一的角拼接在一起，成對(duì)稱(chēng)全等。

　　自旋轉(zhuǎn)模型

　　構(gòu)造方法：

　　遇60度旋60度，造等邊三角形

　　遇90度旋90度，造等腰直角

　　遇等腰旋頂點(diǎn)，造旋轉(zhuǎn)全等

　　遇中點(diǎn)旋180度，造中心對(duì)稱(chēng)

　　共旋轉(zhuǎn)模型

說(shuō)明：旋轉(zhuǎn)中所成的全等三角形，第三邊所成的角是一個(gè)經(jīng)常考察的內(nèi)容。通過(guò)“8”字模型可以證明。

　　模型變形

說(shuō)明：模型變形主要是兩個(gè)正多邊形或者等腰三角形的夾角的變化，另外是等腰直角三角形與正方形的混用。

當(dāng)遇到復(fù)雜圖形找不到旋轉(zhuǎn)全等時(shí)，先找兩個(gè)正多邊形或者等腰三角形的公共頂點(diǎn)，圍繞公共頂點(diǎn)找到兩組相鄰等線段，分組組成三角形證全等。

　　中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)：

說(shuō)明：兩個(gè)正方形、兩個(gè)等腰直角三角形或者一個(gè)正方形一個(gè)等腰直角三角形及兩個(gè)圖形頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)，證明另外兩個(gè)頂點(diǎn)與中點(diǎn)所成圖形為等腰直角三角形。

證明方法是倍長(zhǎng)所要證等腰直角三角形的一直角邊，轉(zhuǎn)化成要證明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形(或者正方形)公旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)，通過(guò)證明旋轉(zhuǎn)全等三角形證明倍長(zhǎng)后的大三角形為等腰直角三角形從而得證。

　　幾何最值模型

　　對(duì)稱(chēng)最值(兩點(diǎn)間線段最短)

　　對(duì)稱(chēng)最值(點(diǎn)到直線垂線段最短)

　　說(shuō)明：通過(guò)對(duì)稱(chēng)進(jìn)行等量代換，轉(zhuǎn)換成兩點(diǎn)間距離及點(diǎn)到直線距離。

　　旋轉(zhuǎn)最值(共線有最值)

　　說(shuō)明：找到與所要求最值相關(guān)成三角形的兩個(gè)定長(zhǎng)線段，定長(zhǎng)線段的和為最大值，定長(zhǎng)線段的差為最小值。

　　剪拼模型

　　三角形→四邊形

　　四邊形→四邊形

　　說(shuō)明：剪拼主要是通過(guò)中點(diǎn)的180度旋轉(zhuǎn)及平移改變圖形的形狀。

　　矩形→正方形

　　說(shuō)明：通過(guò)射影定理找到正方形的邊長(zhǎng)，通過(guò)平移與旋轉(zhuǎn)完成形狀改變

　　正方形+等腰直角三角形→正方形

　　面積等分

　　旋轉(zhuǎn)相似模型

說(shuō)明：兩個(gè)等腰直角三角形成旋轉(zhuǎn)全等，兩個(gè)有一個(gè)角是300角的直角三角形成旋轉(zhuǎn)相似。

推廣：兩個(gè)任意相似三角形旋轉(zhuǎn)成一定角度，成旋轉(zhuǎn)相似。第三邊所成夾角符合旋轉(zhuǎn)“8”字的規(guī)律。

　　相似模型

說(shuō)明：注意邊和角的對(duì)應(yīng)，相等線段或者相等比值在證明相似中起到通過(guò)等量代換來(lái)構(gòu)造相似三角形的作用

說(shuō)明：(1)三垂直到一線三等角的演變，三等角以30度、45度、60度形式出現(xiàn)的居多。

(2)內(nèi)外角平分線定理到射影定理的演變，注意之間的相同與不同之處。另外，相似、射影定理、相交弦定理(可以推廣到圓冪定理)之間的比值可以轉(zhuǎn)換成乘積，通過(guò)等線段、等比值、等乘積進(jìn)行代換，進(jìn)行證明得到需要的結(jié)論。

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2023年初中數(shù)學(xué)：幾何模型及構(gòu)造解析

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