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2022年初中數(shù)學(xué)矩形、菱形、正方形考點(diǎn)及題型匯總

來源:網(wǎng)絡(luò)資源 2022-08-19 21:39:25

中考真題

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  一、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)
 
  1.矩形的性質(zhì)
 
  ①具有平行四邊形的一切性質(zhì);
 
 、诰匦蔚乃膫(gè)角都是直角;
 
 、劬匦蔚膶(duì)角線相等;
 
 、芫匦问禽S對(duì)稱圖形,它有兩條對(duì)稱軸;
 
  ⑤直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。
 
  2.菱形的性質(zhì)
 
 、倬哂衅叫兴倪呅蔚囊磺行再|(zhì);
 
  ②菱形的四條邊都相等;
 
 、哿庑蔚膬蓷l對(duì)角線互相垂直,并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角;
 
 、芰庑问禽S對(duì)稱圖形,每條對(duì)角線所在的直線都是它的對(duì)稱軸;
 
 、萘庑蔚拿娣e=底×高=對(duì)角線乘積的一半。
 
  3.正方形的性質(zhì)
 
  正方形具有平行四邊形,矩形,菱形的一切性質(zhì)
 
 、龠叄核倪呄嗟龋瑢(duì)邊平行;
 
 、诮牵核膫(gè)角都是直角;
 
  ③對(duì)角線:互相平分;相等;且垂直;每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角,即正方形的對(duì)角線與邊的夾角為45度;
 
  ④正方形是軸對(duì)稱圖形,有四條對(duì)稱軸。
 
  例1 矩形ABCD中,DE⊥AC于E,且∠ADE:∠EDC=3:2,則∠BDE的度數(shù)為  (   )
 
  A.360        B.90
 
  C.270        D.180
 
 
  例2 如圖,矩形ABCD中,AE⊥BD于點(diǎn)E,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,BE:ED=1:3,AB=6cm,求AC的長。
 
  例3 如圖, O是矩形ABCD 對(duì)角線的交點(diǎn), AE平分 ∠BAD,∠AOD=120° ,求∠AEO 的度數(shù)。
 
 
  例4 菱形的周長為40cm,兩鄰角的比為1:2,則較短對(duì)角線的長________ 。
 
  例5 如圖,在正方形ABCD中,G是BC上任意一點(diǎn),連接AG,DE⊥AG于E,BF∥DE交AG于F,探究線段AF、BF、EF三者之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
 
  二、矩形、菱形、正方形的判定
 
  1.矩形的判定
 
 、儆幸粋(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形;
 
  ②對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形;
 
 、塾腥齻(gè)角是直角的四邊形是矩形;
 
 、苓有對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形。
 
  2.菱形的判定方法
 
 、儆幸唤M鄰邊相等的平行四邊形是菱形;
 
 、趯(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形;
 
  ③四條邊都相等四邊形是菱形;
 
 、軐(duì)角線垂直平分的四邊形是菱形。
 
  3.正方形的判定
 
 、倭庑+矩形的一條特征;
 
 、诹庑+矩形的一條特征;
 
  ③平行四邊形+一個(gè)直角+一組鄰邊相等。
 
  說明一個(gè)四邊形是正方形的一般思路是:先判斷它是矩形,在判斷這個(gè)矩形也是菱形;或先判斷它是菱形,再判斷這個(gè)菱形也是矩形。
 
  例1. 如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn),過點(diǎn)A、D分別作BC與AB的平行線,并交于點(diǎn)E,連續(xù)EC、AD。
 
  求證:四邊形ADCE是矩形。
 
  例2.如圖,△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,ED⊥BC,DF//AB.
 
  求證:AD與EF互相垂直平分。
 
  例3.已知如圖,在△ABC,∠ACB=900,AD是角平分線,點(diǎn)E、F分別在AB、AD上,且AE=AC,EF∥BC。
 
  求證:四邊形CDEF是菱形。
 
 
  三、矩形、菱形、正方形與函數(shù)綜合題
 
  1.利用矩形、菱形、正方形的知識(shí)解決函數(shù)問題;
 
  2.利用函數(shù)知識(shí)解決矩形、菱形、正方形的問題;
 
  例1.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,菱形ABCD的頂點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合,點(diǎn)B在y軸的正半軸上,點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=(k>0,x>0)的圖象上,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,3).
 
  (1)求k的值;
 
 。2)若將菱形ABCD沿x軸正方向平移,當(dāng)菱形的頂點(diǎn)D落在函數(shù)y=(k>0,x>0)的圖象上時(shí),求菱形ABCD沿x軸正方向平移的距離。
 
 
  例2.如圖,點(diǎn)B、C分別在兩條直線y=2x和y=kx上,點(diǎn)A、D是x軸上兩點(diǎn),已知四邊形ABCD是正方形,則k值為______.
 
 
  例3 已知點(diǎn)A、B分別是x軸、y軸上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)C、D是某個(gè)函數(shù)圖象上的點(diǎn),當(dāng)四邊形ABCD(A、B、C、D各點(diǎn)依次排列)為正方形時(shí),稱這個(gè)正方形為此函數(shù)圖象的伴侶正方形.例如:如圖,正方形ABCD是一次函數(shù)y=x+1圖象的其中一個(gè)伴侶正方形.
 
 。1)若某函數(shù)是一次函數(shù)y=x+1,求它的圖象的所有伴侶正方形的邊長;
 
  (2)若某函數(shù)是反比例函數(shù),它的圖象的伴侶正方形為ABCD,點(diǎn)D(2,m)(m<2)在反比例函數(shù)圖象上,求m的值及反比例函數(shù)解析式。
 
 
  四、矩形、正方形的翻折
 
  1.從翻折中找出對(duì)稱軸,利用對(duì)稱性找相等關(guān)系。
 
  2.利用相等關(guān)系建立方程解決問題。
 
  例1 如圖,矩形ABCD中,E是AD的中點(diǎn),將△ABE沿直線BE折疊后得到△GBE,延長BG交CD于點(diǎn)F.若CF=1,F(xiàn)D=2,則BC的長是(   )
 
  A.3√6   B.2√6
 
  C.2√5   D.2√3
 
 
  例2 如圖,在矩形ABCD中,AB=5,BC=7,點(diǎn)E為BC上一動(dòng)點(diǎn),把△ABE沿AE折疊,當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′落在∠ADC的角平分線上時(shí),則點(diǎn)B′到BC的距離為( 。
 
  A.1或2  B. 2或3
 
  C.3或4   D. 4或5
 
 
  例3 如圖,在邊長為1的正方形ABCD中,E為AD邊上一點(diǎn),連接BE,將△ABE沿BE對(duì)折,A點(diǎn)恰好落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)F處。延長AF,與CD邊交于點(diǎn)G,延長FE,與BA的延長線交于點(diǎn)H,則下列說法:①△BFH為等腰直角三角形;②△ADF≌△FHA; ③∠DFG=60°;④DE=2-√2;⑤S△AEF=S△DFG.其中正確的說法有(。
 
  A.1個(gè)  B.2個(gè)
 
  C.3個(gè) D.4個(gè)
 
 
  例4 四邊形ABCD是正方形,∠MAN=45°,它的兩邊AM、AN分別交CB、DC與點(diǎn)M、N,連接MN,作AH⊥MN,垂足為點(diǎn)H。
 
  (1)如圖1,猜想AH與AB有什么數(shù)量關(guān)系?并證明。
 
  (2)如圖2,已知∠BAC=45°,AD⊥BC于點(diǎn)D,且BD=2,CD=3,求AD的長。
 
 
  五、綜合運(yùn)用
 
  1.計(jì)算。利用矩形、菱形、正方形中的等腰三角形和直角三角形進(jìn)行計(jì)算。
 
  2.證明。利用矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定,結(jié)合全等三角形、等腰三角形、等邊三角形的知識(shí)展開證明。
 
  3.探究。利用矩形、菱形、正方形等知識(shí)展開探究。
 
  例1 在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中,小明進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng),將邊長為2的正方形ABCD與邊長為2的正方形AEFG按圖1位置放置,AD與AE在同一直線上,AB與AG在同一直線上.
 
  (1)小明發(fā)現(xiàn)DG⊥BE,請(qǐng)你幫他說明理由.
 
  (2)如圖2,小明將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)B恰好落在線段DG上時(shí),請(qǐng)你幫他求出此時(shí)BE的長.
 
  (3)如圖3,小明將正方形ABCD繞點(diǎn)A繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),線段DG與線段BE將相交,交點(diǎn)為H,寫出△GHE與△BHD面積之和的最大值,并簡要說明理由。
 
 
  例2 現(xiàn)有兩個(gè)具有一個(gè)公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形△ADE和△ABC,其中∠ACB和∠AED=90°,且AC=BC,AE=DE,CF⊥AB于F,M為線段BD中點(diǎn),連接CM,EM.
 
  (1)如圖1,當(dāng)A、B、D在同一條直線上時(shí),若AC=1,AE=2,求FM的長度;
 
  (2)如圖1,當(dāng)A、B、D在同一條直線上時(shí),求證:CM=EM;
 
  (3)如圖2,當(dāng)A、B、D在同一條直線上時(shí),請(qǐng)?zhí)骄緾M,EM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,請(qǐng)先給出結(jié)論,然后證明。
 

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