2022年中考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之空間圖形與證明

直線(xiàn)、射線(xiàn)和線(xiàn)段

1、幾何圖形

從實(shí)物中抽象出來(lái)的各種圖形，包括立體圖形和平面圖形。

立體圖形：有些幾何圖形的各個(gè)部分不都在同一平面內(nèi)，它們是立體圖形。

平面圖形：有些幾何圖形的各個(gè)部分都在同一平面內(nèi)，它們是平面圖形。

2、點(diǎn)、線(xiàn)、面、體

(1)幾何圖形的組成

點(diǎn)：線(xiàn)和線(xiàn)相交的地方是點(diǎn)，它是幾何圖形中最基本的圖形。

線(xiàn)：面和面相交的地方是線(xiàn)，分為直線(xiàn)和曲線(xiàn)。

面：包圍著體的是面，分為平面和曲面。

體：幾何體也簡(jiǎn)稱(chēng)體。

(2)點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn)，線(xiàn)動(dòng)成面，面動(dòng)成體。

3、直線(xiàn)的概念

一根拉得很緊的線(xiàn)，就給我們以直線(xiàn)的形象，直線(xiàn)是直的，并且是向兩方無(wú)限延伸的。

4、射線(xiàn)的概念

直線(xiàn)上一點(diǎn)和它一旁的部分叫做射線(xiàn)。這個(gè)點(diǎn)叫做射線(xiàn)的端點(diǎn)。

5、線(xiàn)段的概念

直線(xiàn)上兩個(gè)點(diǎn)和它們之間的部分叫做線(xiàn)段。這兩個(gè)點(diǎn)叫做線(xiàn)段的端點(diǎn)。

6、點(diǎn)、直線(xiàn)、射線(xiàn)和線(xiàn)段的表示

在幾何里，我們常用字母表示圖形。

一個(gè)點(diǎn)可以用一個(gè)大寫(xiě)字母表示。

一條直線(xiàn)可以用一個(gè)小寫(xiě)字母表示。

一條射線(xiàn)可以用端點(diǎn)和射線(xiàn)上另一點(diǎn)來(lái)表示。

一條線(xiàn)段可用它的端點(diǎn)的兩個(gè)大寫(xiě)字母來(lái)表示。

注意：

(1)表示點(diǎn)、直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段時(shí)，都要在字母前面注明點(diǎn)、直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段。

(2)直線(xiàn)和射線(xiàn)無(wú)長(zhǎng)度，線(xiàn)段有長(zhǎng)度。

(3)直線(xiàn)無(wú)端點(diǎn)，射線(xiàn)有一個(gè)端點(diǎn)，線(xiàn)段有兩個(gè)端點(diǎn)。

(4)點(diǎn)和直線(xiàn)的位置關(guān)系有線(xiàn)面兩種：

①點(diǎn)在直線(xiàn)上，或者說(shuō)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)。

②點(diǎn)在直線(xiàn)外，或者說(shuō)直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)。

7、直線(xiàn)的性質(zhì)

(1)直線(xiàn)公理：經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)有一條直線(xiàn)，并且只有一條直線(xiàn)。它可以簡(jiǎn)單地說(shuō)成：過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)。

(2)過(guò)一點(diǎn)的直線(xiàn)有無(wú)數(shù)條。

(3)直線(xiàn)是是向兩方面無(wú)限延伸的，無(wú)端點(diǎn)，不可度量，不能比較大小。

(4)直線(xiàn)上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)。

(5)兩條不同的直線(xiàn)至多有一個(gè)公共點(diǎn)。

8、線(xiàn)段的性質(zhì)

(1)線(xiàn)段公理：所有連接兩點(diǎn)的線(xiàn)中，線(xiàn)段最短。也可簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短。

(2)連接兩點(diǎn)的線(xiàn)段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)的距離。

(3)線(xiàn)段的中點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等。

(4)線(xiàn)段的大小關(guān)系和它們的長(zhǎng)度的大小關(guān)系是一致的。

9、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理及逆定理

垂直于一條線(xiàn)段并且平分這條線(xiàn)段的直線(xiàn)是這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)。

線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)和這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。

逆定理：和一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上。

角

10、角的相關(guān)概念

有公共端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，這兩條射線(xiàn)叫做角的邊。

當(dāng)角的兩邊在一條直線(xiàn)上時(shí)，組成的角叫做平角。

平角的一半叫做直角;小于直角的角叫做銳角;大于直角且小于平角的角叫做鈍角。

如果兩個(gè)角的和是一個(gè)直角，那么這兩個(gè)角叫做互為余角，其中一個(gè)角叫做另一個(gè)角的余角。

如果兩個(gè)角的和是一個(gè)平角，那么這兩個(gè)角叫做互為補(bǔ)角，其中一個(gè)角叫做另一個(gè)角的補(bǔ)角。

11、角的表示

角可以用大寫(xiě)英文字母、阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫(xiě)的希臘字母表示，具體的有一下四種表示方法：

①用數(shù)字表示單獨(dú)的角，如∠1，∠2，∠3等。

②用小寫(xiě)的希臘字母表示單獨(dú)的一個(gè)角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。

③用一個(gè)大寫(xiě)英文字母表示一個(gè)獨(dú)立(在一個(gè)頂點(diǎn)處只有一個(gè)角)的角，如∠B，∠C等。

④用三個(gè)大寫(xiě)英文字母表示任一個(gè)角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。

注意：用三個(gè)大寫(xiě)英文字母表示角時(shí)，一定要把頂點(diǎn)字母寫(xiě)在中間，邊上的字母寫(xiě)在兩側(cè)。

12、角的度量

角的度量有如下規(guī)定：把一個(gè)平角180等分，每一份就是1度的角，單位是度，用"°"表示，1度記作"1°"，n度記作"n°"。

把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分記作"1'"。

把1'的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒記作"1""。

1°=60'=60"

13、角的性質(zhì)

(1)角的大小與邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，只與構(gòu)成角的兩條射線(xiàn)的幅度大小有關(guān)。

(2)角的大小可以度量，可以比較

(3)角可以參與運(yùn)算。

15、角的平分線(xiàn)及其性質(zhì)

一條射線(xiàn)把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線(xiàn)叫做這個(gè)角的平分線(xiàn)。

角的平分線(xiàn)有下面的性質(zhì)定理：

(1)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。

(2)到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線(xiàn)上。

相交線(xiàn)

16、相交線(xiàn)中的角

兩條直線(xiàn)相交，可以得到四個(gè)角，我們把兩條直線(xiàn)相交所構(gòu)成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)但沒(méi)有公共邊的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角。我們把兩條直線(xiàn)相交所構(gòu)成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)且有一條公共邊的兩個(gè)角叫做臨補(bǔ)角。

臨補(bǔ)角互補(bǔ)，對(duì)頂角相等。

直線(xiàn)AB，CD與EF相交(或者說(shuō)兩條直線(xiàn)AB，CD被第三條直線(xiàn)EF所截)，構(gòu)成八個(gè)角。其中∠1與∠5這兩個(gè)角分別在AB，CD的上方，并且在EF的同側(cè)，像這樣位置相同的一對(duì)角叫做同位角;∠3與∠5這兩個(gè)角都在AB，CD之間，并且在EF的異側(cè)，像這樣位置的兩個(gè)角叫做內(nèi)錯(cuò)角;∠3與∠6在直線(xiàn)AB，CD之間，并側(cè)在EF的同側(cè)，像這樣位置的兩個(gè)角叫做同旁?xún)?nèi)角。

17、垂線(xiàn)

兩條直線(xiàn)相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線(xiàn)互相垂直。其中一條直線(xiàn)叫做另一條直線(xiàn)的垂線(xiàn)，它們的交點(diǎn)叫做垂足。

直線(xiàn)AB，CD互相垂直，記作"AB⊥CD"(或"CD⊥AB")，讀作"AB垂直于CD"(或"CD垂直于AB")。

垂線(xiàn)的性質(zhì)：

性質(zhì)1：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直。

性質(zhì)2：直線(xiàn)外一點(diǎn)與直線(xiàn)上各點(diǎn)連接的所有線(xiàn)段中，垂線(xiàn)段最短。簡(jiǎn)稱(chēng)：垂線(xiàn)段最短。

平行線(xiàn)(3~8分)

18、平行線(xiàn)的概念

在同一個(gè)平面內(nèi)，不相交的兩條直線(xiàn)叫做平行線(xiàn)。平行用符號(hào)"∥"表示，如"AB∥CD"，讀作"AB平行于CD"。

同一平面內(nèi)，兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系只有兩種：相交或平行。

注意：

(1)平行線(xiàn)是無(wú)限延伸的，無(wú)論怎樣延伸也不相交。

(2)當(dāng)遇到線(xiàn)段、射線(xiàn)平行時(shí)，指的是線(xiàn)段、射線(xiàn)所在的直線(xiàn)平行。

19、平行線(xiàn)公理及其推論

平行公理：經(jīng)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)，有且只有一條直線(xiàn)與這條直線(xiàn)平行。

推論：如果兩條直線(xiàn)都和第三條直線(xiàn)平行，那么這兩條直線(xiàn)也互相平行。

20、平行線(xiàn)的判定

平行線(xiàn)的判定公理：兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，如果同位角相等，那么兩直線(xiàn)平行。簡(jiǎn)稱(chēng)：同位角相等，兩直線(xiàn)平行。

平行線(xiàn)的兩條判定定理：

(1)兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么兩直線(xiàn)平行。簡(jiǎn)稱(chēng)：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行。

(2)兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，如果同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，那么兩直線(xiàn)平行。簡(jiǎn)稱(chēng)：同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行。

補(bǔ)充平行線(xiàn)的判定方法：

(1)平行于同一條直線(xiàn)的兩直線(xiàn)平行。

(2)垂直于同一條直線(xiàn)的兩直線(xiàn)平行。

(3)平行線(xiàn)的定義。

21、平行線(xiàn)的性質(zhì)

(1)兩直線(xiàn)平行，同位角相等。

(2)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。

(3)兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)。

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