一、整式
單項式和多項式統(tǒng)稱整式。
。╝)由數(shù)與字母的積組成的代數(shù)式叫做單項式。單獨一個數(shù)或字母也是單項式。
。╞)單項式的系數(shù)是這個單項式的數(shù)字因數(shù),作為單項式的系數(shù),必須連同數(shù)字前面的性質(zhì)符號,如果一個單項式只是字母的積,并非沒有系數(shù),系數(shù)為1或-1。
。╟)一個單項式中,所有字母的指數(shù)和叫做這個單項式的次數(shù)(注意:常數(shù)項的單項式次數(shù)為0)
(a)幾個單項式的和叫做多項式。在多項式中,每個單項式叫做多項式的項。其中,不含字母的項叫做常數(shù)項。一個多項式中,次數(shù)最高項的次數(shù),叫做這個多項式的次數(shù)。
(b)單項式和多項式都有次數(shù),含有字母的單項式有系數(shù),多項式?jīng)]有系數(shù)。多項式的每一項都是單項式,一個多項式的項數(shù)就是這個多項式作為加數(shù)的單項式的個數(shù)。多項式中每一項都有它們各自的次數(shù),但是它們的次數(shù)不可能都作是為這個多項式的次數(shù),一個多項式的次數(shù)只有一個,它是所含各項的次數(shù)中最高的那一項次數(shù)。
。╝)整式的加減實質(zhì)上就是去括號后,合并同類項,運算結(jié)果是一個多項式或是單項式。
(b)括號前面是“-”號,去括號時,括號內(nèi)各項要變號,一個數(shù)與多項式相乘時,這個數(shù)與括號內(nèi)各項都要相乘。
二、同底數(shù)冪的乘法
(m,n都是整數(shù))是冪的運算中最基本的法則,在應用法則運算時,要注意以下幾點:
。╝)法則使用的前提條件是:冪的底數(shù)相同而且是相乘時,底數(shù)a可以是一個具體的數(shù)字式字母,也可以是一個單項或多項式;
。╞)指數(shù)是1時,不要誤以為沒有指數(shù);
。╟)不要將同底數(shù)冪的乘法與整式的加法相混淆,對乘法,只要底數(shù)相同指數(shù)就可以相加;而對于加法,不僅底數(shù)相同,還要求指數(shù)相同才能相加;
。╠)當三個或三個以上同底數(shù)冪相乘時,法則可推廣為
(其中m、n、p均為整數(shù));
e)公式還可以逆用:
(m、n均為整數(shù))
。╝)冪的乘方法則:
(m,n都是整數(shù)數(shù))是冪的乘法法則為基礎推導出來的,但兩者不能混淆。
。╞)
(m、n都為整數(shù))。
(c)底數(shù)有負號時,運算時要注意,底數(shù)是a與(-a)時不是同底,但可以利用乘方法則化成同底,如將(-a)3化成-a3
。╠)底數(shù)有時形式不同,但可以化成相同。
。╡)要注意區(qū)別(ab)n與(a+b)n意義是不同的,不要誤以為(a+b)n=an+bn(a、b均不為零)。
(f)積的乘方法則:積的乘方,等于把積每一個因式分別乘方,再把所得的冪相乘,即(ab)n=anbn(n為正整數(shù))。
。╣)冪的乘方與積乘方法則均可逆向運用。
五、同底數(shù)冪的除法
。╝)同底數(shù)冪的除法法則:同底數(shù)冪相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減,即
(a≠0)。
。╞)在應用時需要注意以下幾點:
(1)法則使用的前提條件是“同底數(shù)冪相除”而且0不能做除數(shù),所以法則中a0。
。2)任何不等于0的數(shù)的0次冪等于1,即a0=1(a≠0),如100=1,(-2.50=1),則00無意義。
。╟)任何不等于0的數(shù)的-p次冪(p是正整數(shù)),等于這個數(shù)的p的次冪的倒數(shù),即
初一數(shù)學上冊知識點:整式的加減
。╝≠0,p是正整數(shù)),而0-1,0-3都是無意義的;當a>0時,a-p的值一定是正的,當a<0時,a-p的值可能是正也可能是負的,如
,d)運算要注意運算順序。
六、整式的乘法
單項式相乘,它們的系數(shù)、相同字母分別相乘,對于只在一個單項式里含有的字母,連同它的指數(shù)作為積的一個因式。
單項式乘法法則在運用時要注意以下幾點:
。╝)積的系數(shù)等于各因式系數(shù)積,先確定符號,再計算絕對值。這時容易出現(xiàn)的錯誤的是,將系數(shù)相乘與指數(shù)相加混淆;
(b)相同字母相乘,運用同底數(shù)冪的乘法法則;
。╟)只在一個單項式里含有的字母,要連同它的指數(shù)作為積的一個因式;
。╠)單項式乘法法則對于三個以上的單項式相乘同樣適用;
。╡)單項式乘以單項式,結(jié)果仍是一個單項式。
單項式乘以多項式,是通過乘法對加法的分配律,把它轉(zhuǎn)化為單項式乘以單項式,即單項式與多項式相乘,就是用單項式去乘多項式的每一項,再把所得的積相加。
單項式與多項式相乘時要注意以下幾點:
。╝)單項式與多項式相乘,積是一個多項式,其項數(shù)與多項式的項數(shù)相同;
(b)運算時要注意積的符號,多項式的每一項都包括它前面的符號;
。╟)在混合運算時,要注意運算順序。
多項式與多項式相乘,先用一個多項式中的每一項乘以另一個多項式的每一項相乘,再把所得的積相加。
多項式與多項式相乘時要注意以下幾點:
(a)多項式與多項式相乘要防止漏項,檢查的方法是:在沒有合并同類項之前,積的項數(shù)應等于原兩個多項式項數(shù)的積;
(b)多項式相乘的結(jié)果應注意合并同類項;
(c)對含有同一個字母的一次項系數(shù)是1的兩個一次二項式相乘(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,其二次項系數(shù)為1,一次項系數(shù)等于兩個因式中常數(shù)項的和,常數(shù)項是兩個因式中常數(shù)項的積。對于一次項系數(shù)不為1的兩個一次二項式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到
七、平方差公式
兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積,等于它們的平方差,即
其結(jié)構(gòu)特征是:
。╝)公式左邊是兩個二項式相乘,兩個二項式中第一項相同,第二項互為相反數(shù);
。╞)公式右邊是兩項的平方差,即相同項的平方與相反項的平方之差。
八、完全平方公式
兩數(shù)和(或差)的平方,等于它們的平方和,加上(或減去)它們的積的2倍,即
口訣:首平方,尾平方,2倍乘積在中央;
(a)公式左邊是二項式的完全平方;
。╞)公式右邊共有三項,是二項式中二項的平方和,再加上或減去這兩項乘積的2倍。
。╟)在運用完全平方公式時,要注意公式右邊中間項的符號,以及避免出現(xiàn)
這樣的錯誤。
九、整式的除法
單項式相除,把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除,作為商的因式,對于只在被除式里含有的字母,則連同它的指數(shù)作為商的一個因式;
多項式除以單項式,先把這個多項式的每一項除以單項式,再把所得的商相加,其特點是把多項式除以單項式轉(zhuǎn)化成單項式除以單項式,所得商的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同,另外還要特別注意符號。
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