構(gòu)造一元二次方程解題是一種重要的數(shù)學(xué)方法，其應(yīng)用非常廣泛，用法非常靈活。這里舉例說(shuō)明如何用這一方法解決有關(guān)問(wèn)題。
一、巧求代數(shù)式的值
例1. 已知實(shí)數(shù)m、n滿足 求 的值。
分析：注意到兩個(gè)等式的系數(shù)特點(diǎn)，可以先化為對(duì)應(yīng)相等的形式，再構(gòu)造恰當(dāng)?shù)囊辉畏匠獭?/p>
解：顯然 ，因此 可化為
由 知 ，又因?yàn)?，所以 、 是關(guān)于x的方程 的兩個(gè)不等式實(shí)數(shù)根。根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得
例2. 已知實(shí)數(shù)a、b滿足 ， ，求 的值。
分析：注意本題的條件可以提煉出兩個(gè)數(shù)的和與積的形式，逆用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造一元二次方程。
解：由 得 ;
由 得
于是 、 是關(guān)于x的方程 的兩個(gè)根。
解得
當(dāng) 時(shí)，
;
當(dāng) 時(shí)，#p#分頁(yè)標(biāo)題#e#
。
注：上述兩例給出了兩種構(gòu)造一元二次方程的常用方法與思路。一種是應(yīng)用方程根的意義，一種是逆用根與系數(shù)的關(guān)系。
二、巧求代數(shù)式的取值范圍
例3. 已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足 ， ，求c的范圍。
分析：注意到條件中出現(xiàn)了 、ab的形式，可以構(gòu)造出符合條件的一元二次方程，然后應(yīng)用判別式求解。
解：由條件可知 (顯然 )，于是a、b是關(guān)于x的方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。
因此判別式
(1)如果 ，則(*)式總成立;
(2)如果 ，則(*)式可化為 。
由(1)、(2)可知c的取值范圍是 或 。
注：構(gòu)造出符合題意的二次方程后，經(jīng)常要綜合考慮應(yīng)用判別式求解問(wèn)題。
三、巧證明等式問(wèn)題
例4. 已知 ，求證 。
分析：注意到條件的形式，聯(lián)想到 ，據(jù)此可以構(gòu)造出符合條件的一元二次方程進(jìn)行求解。
證明：(1)若 ，則由條件容易得 ，因此 成立。
(2)若 ，則關(guān)于x的方程 (*)的判別式為 ，因此方程(*)有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根。又因?yàn)榉匠?*)的系數(shù)符合#p#分頁(yè)標(biāo)題#e# ，因此方程(*)的解是 。于是根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系有 ，即 。
由(1)(2)可知 成立。
注：本題分兩種情況討論是很有必要的。應(yīng)用一元二次方程 的判別式解題時(shí)，一定要確保二次項(xiàng)系數(shù) 。
四、巧證明不等式問(wèn)題
例5. 已知正數(shù) 滿足條件 。求證： 。
分析：注意到 ，可以構(gòu)造一根為1的二次方程解決本題。
證明：由 得 ，可知關(guān)于t的一元二次方程 一定有一個(gè)實(shí)數(shù)根為1。
于是 。
同理可證明 。
由 為正數(shù)知 ，
所以 。
注：應(yīng)用構(gòu)造一元二次方程法證明不等式時(shí)，多是結(jié)合根的判別式論證。
五、巧判斷三角形形狀
例6. 已知 的三邊a,b,c滿足 ，試判斷 是什么三角形(按邊分類)，并證明你的結(jié)論。
分析：條件中出現(xiàn)了b，c的和與積，據(jù)此可構(gòu)造出符合題意的方程。
解：由條件 可知，b、c是關(guān)于x的一元二次方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。#p#分頁(yè)標(biāo)題#e#
則 ，
即 ，事實(shí)上 ，于是只有 。此時(shí)方程的兩實(shí)數(shù)根相等，即 。
由 知 ，所以 是等腰三角形。
注：判斷三角形形狀是 、競(jìng)賽中常見(jiàn)題型，要多加注意。
六、巧證明幾何問(wèn)題
例7. 如圖1，過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)C作任意一條直線與AB、AD的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)E、F。求證： 。
分析：注意到要證明的不等式的形式，可聯(lián)想到一元二次方程的判別式。
證明：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，連AC。
因?yàn)?，所以有
。
即 。
從而AE、AF可視為關(guān)于x的一元二次方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。所以該方程的判別式
得 ，即 。
例8. 如圖2，已知四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，若 。求證： 。
分析：若設(shè) ，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求 的最小值問(wèn)題。設(shè) ，再求出 的值即可構(gòu)造出符合條件的方程。#p#分頁(yè)標(biāo)題#e#
證明：設(shè) 。
因?yàn)?，所以 ，即 。
于是m，n是關(guān)于x的一元二次方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。則
，
注意k為正數(shù)，得 ，
于是 。
因此 。
注：應(yīng)用構(gòu)造一元二次方程的方法解決一些幾何中的不等式問(wèn)題，的確讓我們有耳目一新的感覺(jué)，有益于訓(xùn)練大家思維的發(fā)散性、創(chuàng)新性。
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