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2019中考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn):有理數(shù)的運(yùn)算

來(lái)源:中考網(wǎng)整理 作者:中考網(wǎng)編輯 2018-12-28 13:59:13

中考真題

云分校

  有理數(shù)的運(yùn)算:

  加法:①同號(hào)相加,取相同的符號(hào),把絕對(duì)值相加。②異號(hào)相加,絕對(duì)值相等時(shí)和為0;絕對(duì)值不等時(shí),取絕對(duì)值較大的數(shù)的符號(hào),并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值。③一個(gè)數(shù)與0相加不變。

  減法:減去一個(gè)數(shù),等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。

  乘法:①兩數(shù)相乘,同號(hào)得正,異號(hào)得負(fù),絕對(duì)值相乘。②任何數(shù)與0相乘得0。③乘積為1的兩個(gè)有理數(shù)互為倒數(shù)。

  除法:①除以一個(gè)數(shù)等于乘以一個(gè)數(shù)的倒數(shù)。②0不能作除數(shù)。

  乘方:求N個(gè)相同因數(shù)A的積的運(yùn)算叫做乘方,乘方的結(jié)果叫冪,A叫底數(shù),N叫次數(shù)。

  考點(diǎn)1.2、實(shí)數(shù)與二次根式

  1、平方根

  如果一個(gè)數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根(或二次方跟)。

  一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根,他們互為相反數(shù);零的平方根是零;負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。

  正數(shù)a的平方根記做""。

  2、算術(shù)平方根

  正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根,記作""。

  正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個(gè),零的算術(shù)平方根是零。

 。0)

 ;注意的雙重非負(fù)性:

  -(<0)0

  注意:算術(shù)平方根與絕對(duì)值

  ①聯(lián)系:都是非負(fù)數(shù),=│a│

 、趨^(qū)別:│a│中,a為一切實(shí)數(shù);中,a為非負(fù)數(shù)。

  3、算術(shù)平方根的估算方法:兩端逼近法.

  例如:估算.(精確到0.1)∵∴.又∵,

  又∵6更靠近5.76,∴4、立方根

  如果一個(gè)數(shù)的立方等于a,那么這個(gè)數(shù)就叫做a的立方根(或a的三次方根)。

  一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根;一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根;零的立方根是零。

  注意:,這說(shuō)明三次根號(hào)內(nèi)的負(fù)號(hào)可以移到根號(hào)外面。

  二次根式

  5、二次根式

  式子叫做二次根式,二次根式必須滿足:含有二次根號(hào)"";被開(kāi)方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)。

  6、最簡(jiǎn)二次根式

  若二次根式滿足:被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù),因式是整式;被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式,這樣的二次根式叫做最簡(jiǎn)二次根式。

  化二次根式為最簡(jiǎn)二次根式的方法和步驟:

 。1)如果被開(kāi)方數(shù)是分?jǐn)?shù)(包括小數(shù))或分式,先利用商的算數(shù)平方根的性質(zhì)把它寫(xiě)成分式的形式,然后利用分母有理化進(jìn)行化簡(jiǎn)。

 。2)如果被開(kāi)方數(shù)是整數(shù)或整式,先將他們分解因數(shù)或因式,然后把能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式開(kāi)出來(lái)。

  7、同類(lèi)二次根式

  幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后,如果被開(kāi)方數(shù)相同,這幾個(gè)二次根式叫做同類(lèi)二次根式。

  8、二次根式的性質(zhì)

 。1)

 。2)

  (3)

 。4)注:

  9、根式運(yùn)算法則:

 、偶臃ǚ▌t(合并同類(lèi)二次根式);

 、瞥恕⒊ǚ▌t;

 、欠帜赣欣砘篈.;B.;C..

  10.指數(shù)

  ⑴(-冪,乘方運(yùn)算)

 、賏>0時(shí),>0;②a<0時(shí),>0(n是偶數(shù)),<0(n是奇數(shù))

 、屏阒笖(shù):=1(a≠0)

  負(fù)整指數(shù):=1/(a≠0,p是正整數(shù))

  11、二次根式混合運(yùn)算

  二次根式的混合運(yùn)算與實(shí)數(shù)中的運(yùn)算順序一樣,先乘方,再乘除,最后加減,有括號(hào)的先算括號(hào)里的(或先去括號(hào))。

  考點(diǎn)1.3、代數(shù)式與整式

  1、代數(shù)式

  用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式。

  表示方根的代數(shù)式叫做根式。

  含有關(guān)于字母開(kāi)方運(yùn)算的代數(shù)式叫做無(wú)理式。注意:①?gòu)耐庑紊吓袛啵虎趨^(qū)別:、是根式,但不是無(wú)理式(是無(wú)理數(shù))。

  2、單項(xiàng)式

  只含有數(shù)字與字母的積的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式。

  注意:?jiǎn)雾?xiàng)式是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)構(gòu)成的,其中系數(shù)不能用帶分?jǐn)?shù)表示,如,這種表示就是錯(cuò)誤的,應(yīng)寫(xiě)成。一個(gè)單項(xiàng)式中,所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。如是6次單項(xiàng)式。

  注意:系數(shù)與指數(shù):區(qū)別與聯(lián)系:①?gòu)奈恢蒙峡矗虎趶谋硎镜囊饬x上看

  其含義有:

 、俨缓屑印p運(yùn)算符號(hào).

 、谧帜覆怀霈F(xiàn)在分母里.

  ③單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或者字母也是單項(xiàng)式.

 、懿缓"符號(hào)".多項(xiàng)式3、多項(xiàng)式

  幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。其中每個(gè)單項(xiàng)式叫做這個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)。多項(xiàng)式中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù),叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。

  單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式。

  用數(shù)值代替代數(shù)式中的字母,按照代數(shù)式指明的運(yùn)算,計(jì)算出結(jié)果,叫做代數(shù)式的值。

  注意:(1)求代數(shù)式的值,一般是先將代數(shù)式化簡(jiǎn),然后再將字母的取值代入。

  (2)求代數(shù)式的值,有時(shí)求不出其字母的值,需要利用技巧,"整體"代入。

  4、同類(lèi)項(xiàng)

  所有字母相同,并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)叫做同類(lèi)項(xiàng)。幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)也是同類(lèi)項(xiàng)。

  條件:①字母相同;②相同字母的指數(shù)相同

  合并依據(jù):乘法分配律

  5、去括號(hào)法則

  (1)括號(hào)前是"+",把括號(hào)和它前面的"+"號(hào)一起去掉,括號(hào)里各項(xiàng)都不變號(hào)。

 。2)括號(hào)前是"﹣",把括號(hào)和它前面的"﹣"號(hào)一起去掉,括號(hào)里各項(xiàng)都變號(hào)。

  6、整式的運(yùn)算法則

  整式的加減法:(1)去括號(hào);(2)合并同類(lèi)項(xiàng)。

  整式的乘法:整式的除法:

  注意:(1)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的結(jié)果仍然是單項(xiàng)式。

 。2)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘,結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式,其項(xiàng)數(shù)與因式中多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同。

 。3)計(jì)算時(shí)要注意符號(hào)問(wèn)題,多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括它前面的符號(hào),同時(shí)還要注意單項(xiàng)式的符號(hào)。

  (4)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的展開(kāi)式中,有同類(lèi)項(xiàng)的要合并同類(lèi)項(xiàng)。

 。5)公式中的字母可以表示數(shù),也可以表示單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。(6)(7)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式,先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式,再把所得的商相加,單項(xiàng)式除以多項(xiàng)式是不能這么計(jì)算的。

  考點(diǎn)1.4、整式的乘除同上

  考點(diǎn)1.5、因式分解

  1、因式分解

  把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式,叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解,也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。

  2、因式分解的常用方法

 。1)提公因式法:

  (2)運(yùn)用公式法:①

  擴(kuò)展:

 、跀U(kuò)展:或

  同理:或

  ③(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3.④(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3;a2+b2=(a+b)2-2ab,(a-b)2=(a+b)2-4ab.

  公式拓展:⑥

 、撷啖

 、

  ⑾

 。3)分組分解法:

  (4)十字相乘法:

  3、因式分解的一般步驟:

 。1)如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式,那么先提取公因式。

 。2)在各項(xiàng)提出公因式以后或各項(xiàng)沒(méi)有公因式的情況下,觀察多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù):2項(xiàng)式可以嘗試運(yùn)用公式法分解因式;3項(xiàng)式可以嘗試運(yùn)用公式法、十字相乘法分解因式;4項(xiàng)式及4項(xiàng)式以上的可以嘗試分組分解法分解因式

 。3)分解因式必須分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止。

  考點(diǎn)1.6、分式

  1、分式的概念

  一般地,用A、B表示兩個(gè)整式,A÷B就可以表示成的形式,如果B中含有字母,式子就叫做分式。其中,A叫做分式的分子,B叫做分式的分母。分式和整式通稱為有理式。

  2、分式的性質(zhì)

  (1)分式的基本性質(zhì):

  分式的分子和分母都乘以(或除以)同一個(gè)不等于零的整式,分式的值不變。

  基本性質(zhì):=(m≠0)

 。2)分式的變號(hào)法則:

  分式的分子、分母與分式本身的符號(hào),改變其中任何兩個(gè),分式的值不變。

  符號(hào)法則:

  3、分式的運(yùn)算法則技巧:

  4、繁分式:①定義:分子或分母中又含有分式的分式,叫做繁分式.②化簡(jiǎn)方法(兩種)通常把繁分式寫(xiě)成分子除以分母的形式,再利用分式的除法法則進(jìn)行化簡(jiǎn).

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