來源:中考網(wǎng) 作者:中考網(wǎng)編輯整合 2015-04-07 10:47:34
二、例題分析:
例1.已知P(m, n)是一次函數(shù)y=-x+1圖象上的一點,二次函數(shù)y=x2+mx+n的圖象與x軸兩個交點的橫坐標的平方和為1,問點N(m+1, n-1)是否在函數(shù)y=-圖象上。
分析:P(m, n)是圖象上一點,說明P(m, n)適合關(guān)系式y(tǒng)=-x+1,代入則可得到關(guān)于m,n的一個關(guān)系,二次函數(shù)y=x2+mx+n與x軸兩個交點的橫坐標是方程x2+mx+n=0的兩個根,則x1+x2=-m, x1x2=n, 由平方和為1即x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=1,又可得到關(guān)于m, n的一個關(guān)系,兩個關(guān)系聯(lián)立成方程組,可解出m, n,這種利用構(gòu)造方程求函數(shù)系數(shù)的思想最為常見。
解:∵P(m,n)在一次函數(shù)y=-x+1的圖象上,
∴ n=-m+1, ∴ m+n=1.
設(shè)二次函數(shù)y=x2+mx+n的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標為x1,x2,
∴x12+x22=1,
又∵x1+x2=-m, x1x2=n,
∴ (x1+x2)2-2x1x2=1, 即m2-2n=1
由解這個方程組得:或。
把m=-3, n=4代入x2+mx+n=0,
x2-3x+4=0, Δ<0.
∴ m=-3, n=4(舍去).
把m=1, n=0代入x2+mx+n=0,
x2+x=0, Δ>0
∴點N(2,-1),
把點N代入y=-,當x=2時,y=-3≠-1.
∴點N(2,-1)不在圖象y=-上。
說明:這是一道綜合題,包括二次函數(shù)與一次函數(shù)和反比例函數(shù),而且需要用到代數(shù)式的恒等變形,與一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系結(jié)合,求出m、n值后,需檢驗判別式,看是否與x軸有兩個交點。當m=-3, n=4時,Δ<0,所以二次函數(shù)與x軸無交點,與已知不符,應(yīng)在解題過程中舍去。是否在y=-圖象上,還需把點(2,-1)代入y=-,滿足此函數(shù)解析式,點在圖象上,否則點不在圖象上。
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