中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：平面幾何添加輔助線的技巧

　　摘要：近兩年，中考數(shù)學(xué)試卷中降低了對平面幾何的要求，但就此認(rèn)為對于學(xué)生的思維訓(xùn)練可以放松，那就錯了。數(shù)學(xué)始終應(yīng)包含其特有的知識、思想與方法、活動應(yīng)用、知識審美等四個層面，而培養(yǎng)一名學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維能力和推理論證能力更是一刻不離地貫穿其中的……

        中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：平面幾何添加輔助線的技巧

　　近兩年，中考數(shù)學(xué)試卷中降低了對平面幾何的要求，但就此認(rèn)為對于學(xué)生的思維訓(xùn)練可以放松，那就錯了。數(shù)學(xué)始終應(yīng)包含其特有的知識、思想與方法、活動應(yīng)用、知識審美等四個層面，而培養(yǎng)一名學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維能力和推理論證能力更是一刻不離地貫穿其中的。

　　不少初中生感到平面幾何比較難學(xué)，特別是遇到需要添加輔助線的習(xí)題，有時會感到無從下手。在此，我們對初中幾何中添加輔助線的思路從以下幾個方面進(jìn)行了總結(jié)，希望能幫助參加中考的學(xué)生有效復(fù)習(xí)備考。

　　揭示圖形中隱含的性質(zhì)（擴(kuò)大原題的“已知”）

　　當(dāng)題目的題設(shè)和結(jié)論之間的邏輯關(guān)系不太明朗、甚至“彼此孤立”時，可以通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，把題設(shè)條件中隱含的有關(guān)性質(zhì)充分顯現(xiàn)出來，擴(kuò)大了已知條件，從而有利于迅速找到題目的最近切入口，進(jìn)而推導(dǎo)出題目的結(jié)論。

　　[例題1]

　　如圖1，D是⊿ABC的邊AC的中點，延長BC到點E，使CE=BC，ED的延長線交AB于點F，求ED∶EF。

　　分析：

　　思路一：過C作AB的平行線交DE于G，由D是AC的中點可得FD=DG，由CE=BC可得FG=GE，從而得ED∶EF=3∶4。

　　思路二：過D作BE的平行線交AB于I，類似法一得ID∶BC=1∶2，ID∶BE=1∶4，從而得ED∶EF=3∶4。

　　思路三：過D作AB的平行線交BE于H，易得BH=HC=1/4BE，得ED∶EF=3∶4。

　　說明：本題三種思路所添加的三條平行線，均是為了充分利用“D是⊿ABC的邊AC的中點”這一條件，使本來感覺比較薄弱的一個條件，在平行線的作用下變得內(nèi)涵豐富，既有另外一邊的中點出現(xiàn)，又可以利用三角形的中位線定理，這樣使用起來就更加得心應(yīng)手。

　　構(gòu)造圖形，補(bǔ)題設(shè)（已知）的不足有時必須添加一些圖形，使題設(shè)條件能充分顯示出來，從而為定理的應(yīng)用創(chuàng)造條件，或者使不能直接證得的結(jié)論轉(zhuǎn)化為與它等價的另一個結(jié)論，便于思考與證明。

　　[例題2]

　　已知：O是正方形ABCD內(nèi)一點，∠OBC=∠OCB=15°求證：⊿AOB是等邊三角形。

　　分析：

　　（如圖2）構(gòu)建三角形OMC。使DH⊥OC于H，則∠2=15°作∠DCM=15°則⊿DMC≌⊿BOC且∠MCO=60°DM=MC=OC=OM

　　∴∠DMO=360°-60°-150°=150°

　　∴∠1=∠MOD=15°

　　從而有∠DOC=∠DCO=75°，DO=DC=AD=AB=AO

　　說明：本題就是利用輔助線構(gòu)造出一個和要證明的結(jié)論類似的等邊三角形，然后借助構(gòu)造出的圖形解答題目。

　　把分散的幾何元素聚集起來

　　有些幾何題，條件與結(jié)論比較分散。通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，將圖形中分散、“遠(yuǎn)離”了的元素聚集到有關(guān)的圖形上，使他們相對集中、便于比較、建立關(guān)系，從而找出問題的解決途徑。

　　[例題3]

　　如圖8，△ABC中，∠B=2∠C，且∠A的平分線為AD，問AB與BD的和等于AC嗎？

　　思路一：如圖9，在長線段AC上截取AE=AB，由△ABD≌△AED推出BD=DE，從而只需證EC=DE。

　　思路二：如圖10，延長短線段AB至點E，使AE=AC，因而只需證BE=BD，由△AED≌△ACD及∠B=2∠C，可證∠E=∠BDE，從而有BE=BD。

　　思路三：如圖10，延長AB至E，使BE=BD，連接ED，由∠ABD=2∠C，∠ABD=2∠E，可證△AED≌△ACD，可得AE=AC，即AC=AB+BD。

　　說明：這道例題就是利用輔助線，把本來不在一條直線的線段AB與BD聚集到一條直線上來，這樣就可以輕松得到AB+BD或者AC—AB，然后題目就迎刃而解了。

　　平面幾何中添加輔助線的方法是靈活多變的，這就要求我們熟練掌握數(shù)學(xué)中的基本概念和基本定理，在實踐探索中經(jīng)常進(jìn)行歸類總結(jié)，仔細(xì)分析題目給我們的條件，找到隱含的及一些有規(guī)律的信息。

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