如何正確運用垂徑定理

     摘要：作弦AB的垂直平分線，分別交-、弦AB于C、D兩點。則CD為弓形的高，由垂徑定理的推論知圓心O一定在直線CD上，設(shè)圓心O在如圖所示的位置，半徑為r，連結(jié)BD，在Rt△BDO中，BD=3，BO=r，OD=r-1，由勾股定理得32+(r-1)2=r2，解得r=5。答案：5……

       如何正確運用垂徑定理

　　例1.如圖，弓形弦AB=6，弓形高為1，則其所在圓的半徑為_____。

　�。劢馕觯荩鹤飨褹B的垂直平分線，分別交-、弦AB于C、D兩點。則CD為弓形的高，由垂徑定理的推論知圓心O一定在直線CD上，設(shè)圓心O在如圖所示的位置，半徑為r，連結(jié)BD，在Rt△BDO中，BD=3，BO=r，OD=r-1，由勾股定理得32+(r-1)2=r2，解得r=5。答案：5

　　［點評］：此題運用了“垂直弦、平分弦就過圓心且過弧的中點”的垂徑定理的推論。

　　例2.已知⊙O的半徑為2cm，弦AB長為2-cm，則這條弦的中點到弦所對劣弧的中點的距離為_____。

　�。劢馕觯荩喝鐖D，取弧AB的中點C，弦AB的中點D，連結(jié)CD并延長，由垂徑定理的推論知圓心O一定在直線CD上，且OC⊥AB。在Rt△ADO中，AD=-，AO=2，由勾股定理可求得OD=1，∴弦的中點到弦所對劣弧的中點的距離CD=2-1=1。

　　答案：1

　�。埸c評］：此題運用了“過弧的中點、過弦的中點就過圓心且垂直于弦”的垂徑定理的推論。

　　例3.如圖，⊙O的直徑為10，弦AB為8，P是弦AB上一動點，若OP的長為整數(shù)，則滿足條件的點P有____個。

　　［解析］：過O點作OC⊥AB于C，由垂徑定理可得AC=BC=4，在Rt△ACO中，由勾股定理可求得OC=3，由P點在線段AB上的位置可知當P點運動到C點時，OP最短且長為整數(shù)3，當P點運動到A、B兩點時，OP最長且長為整數(shù)5，由于數(shù)軸上的點與實數(shù)具有一一對應(yīng)的關(guān)系，可知A點和C點之間必存在一點P，使OP的長為4，同理B點和C點之間也存在一點P，使OP的長為4。

　　∴滿足條件的點P一共有5個。

　　答案：5

　�。埸c評］：此題運用了“過圓心、垂直弦，就平分弦”的垂徑定理
　　例7.如圖，⊙O的兩條弦AB、CD相交于點P，E、F分別是AB、CD的中點，且PE=PF，求證：AB=CD。

　�。廴�解］：如圖7-1，連結(jié)OB、OD

　　∵OE過圓心且E為AB的中點

　　∴OE⊥AB∴∠OEP=90°

　　同理∠OFP=90°

　　∵PE=PF∴∠PEF=∠PFE

　　∵∠OEF=90°-∠PEF，∠OFE=90°-∠PFE

　　∴∠OEF=∠OFE∴OE=OF

　　在Rt△OEB和Rt△OFD中

　　∵OE=OF，OB=OD

　　∴Rt△OEB≌Rt△OFD

　　∴BE=DF

　　∵E、F分別為AB、CD的中點

　　∴AB=CD

　�。埸c評］：此題運用了“過圓心、平分弦，就垂直弦”的垂徑定理的推論。

　　例4.已知，⊙O的半徑OA=1，弦AB、CD的長分別為-、-，求∠BAC的度數(shù)。

　�。廴�解］：作OD⊥AB于點D，OE⊥AC于點E

　　∴D為AB的中點，AD=-；E為AC的中點，AE=-。在Rt△ADO中，由勾股定理可得OD=AD=-，∠DAO=45°，同理∠EAO=30°。

　　當AB、AC位于OA兩側(cè)時，∠BAC=∠BAO+∠CAO=75°（如圖8-1)

　　當AB、AC位于OA同側(cè)時，∠BAC=∠BAO-∠CAO=15°（如圖8-2)

　�。埸c評］：此題運用了“過圓心、垂直弦，就平分弦”的垂徑定理。

　　例5.如圖，已知AB和CD為⊙O的兩條直徑，∠AOC=60°，P為-上的一個動點(不包括B、C點)，且PE⊥OC，PF⊥OB，點E、F為垂足。

　　⑴∠P的大小是否隨P點的變化而變化？若不變化，求∠P的度數(shù)；若變化，請說明理由；

　　⑵若P為-的中點時，求EF:OA的值。

　　［全解］：⑴隨著點P的變化，∠P的大小不變。

　　∵∠AOC=60°∴∠COB=120°

　　在四邊形PEOF中

　　∵PE⊥OC，PF⊥OB

　　∴∠P=180°-120°=60°

　�、迫鐖D

　　∵AB是⊙O的直徑，P為-的中點，PF⊥OB

　　∴PF過圓心O

　　∴點F與點O重合

　　在Rt△POE中

　　∵∠P=60°∴∠POE=30°

　　∴PE：OE：OP=1：-：2

　　∵EF=OE，OA=OP，EF：OA=OE：OP=-：2

　　［點評］：此題運用了“過弧的中點、垂直弦，就過圓心”的垂徑定理的推論。

　　總之，垂徑定理及推論揭示了垂直于弦的直徑和這條弦以及這條弦所對的兩條弧之間的內(nèi)在關(guān)系，它包含了五個元素：①過圓心②垂直弦③平分弦④平分優(yōu)弧⑤平分劣弧，在上述5個元素中任意兩個組成題設(shè)，都能推出其他的三個結(jié)論；但要注意的是當①過圓心與③平分弦組成題設(shè)時，被平分的弦不能是直徑。

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