來源:初中數(shù)學競賽 2005-09-09 16:24:01
1.一次函數(shù)的最大值與最小值
一次函數(shù)y=kx+b在其定義域(全體實數(shù))內是沒有最大值和最小值的,但是,如果對自變量x的取值范圍有所限制時,一次函數(shù)就可能有最大值和最小值了.
例1 設a是大于零的常數(shù),且a≠1,求y的最大值與最小值.
大值a.
例2 已知x,y,z是非負實數(shù),且滿足條件
x+y+z=30,3x+y-z=50.
求u=5x+4y+2z的最大值和最小值.
分析 題設條件給出兩個方程,三個未知數(shù)x,y,z,當然,x,y,z的具體數(shù)值是不能求出的.但是,我們固定其中一個,不妨固定x,那么y,z都可以用x來表示,于是u便是x的函數(shù)了.
解 從已知條件可解得
y=40-2x,z=x-10.
所以
u=5x+4y+2z
=5x+4(40-2x)+2(x-10)
=-x+140.
又y,z均為非負實數(shù),所以
解得10≤x≤20.
由于函數(shù)u=-x+140是隨著x的增加而減小的,所以當x=10時,u有最大值130;當x=20時,u有最小值120.
2.二次函數(shù)的最大值與最小值
例3 已知x1,x2是方程
x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0
解 由于二次方程有實根,所以
△=[-(k-2)]2-4(k2+3k+5)≥0,
3k2+16k+16≤0,
例4 已知函數(shù)
有最大值-3,求實數(shù)a的值.
解 因為
的范圍內分三種情況討論.
-a2+4a-1=-3
例5 已知邊長為4的正方形截去一個角后成為五邊形ABCDE(如圖3-12),其中AF=2,BF=1.試在AB上求一點P,使矩形PNDM有最大面積.
解 設矩形PNDM的邊DN=x,NP=y,于是矩形PNDM的面積
S=xy,2≤X≤4.
易知CN=4-x,EM=4-y,且有
二次函數(shù)S=f(x)的圖像開口向下,對稱軸為x=5,故當x≤5時,函數(shù)值是隨x的增加而增加,所以,對滿足2≤x≤4的S來說,當x=4時有最大值
例6 設p>0,x=p時,二次函數(shù)f(x)有最大值5,二次函數(shù)g(x)的最小值為-2,且g(p)=25,f(x)+g(x)=x2+16x+13.求g(x)的解析式和p的值.
解 由題設知
f(p)=5,g(p)=25,
f(p)+g(p)=p2+16p+13,
所以 p2+16p+13=30,
p=1(p=-17舍去).
由于f(x)在x=1時有最大值5,故設
f(x)=a(x-1)2+5,a<0,
所以
g(x)=x2+16x+13-f(x)
=(1-a)x2+2(a+8)x+8-a.
由于g(x)的最小值是-2,于是
解得a=-2,從而
g(x)=3x2+12x+10.
3.分式函數(shù)的最大值與最小值
法是去分母后,化為關于x的二次方程,然后用判別式△≥0,得出y的取值范圍,進而定出y的最大值和最小值.
解 去分母、整理得
(2y-1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0.
△≥0,即
△=[2(y+1)]2-4(2y-1)(y+3)≥0,
解得 -4≤y≤1.
時,取最小值-4,當x=-2時,y取最大值1.
說明 本題求最值的方法叫作判別法,這也是一種常用的方法.但在用判別法求最值時,應特別注意這個最值能否取到,即是否有與最值相應的x值.
解 將原函數(shù)去分母,并整理得
yx2-ax+(y-b)=0.
因x是實數(shù),故
△=(-a)2-4?y?(y-b)≥0,
由題設知,y的最大值為4,最小值為-1,所以
(y+1)(y-4)≤0,
即 y2-3y-4≤0. ②
由①,②得
所以a=±4,b=3.
4.其他函數(shù)的最大值與最小值
處理一般函數(shù)的最大值與最小值,我們常常用不等式來估計上界或下界,進而構造例子來說明能取到這個上界或下界.
解 先估計y的下界.
又當x=1時,y=1,所以,y的最小值為1.
說明 在求最小(大)值,估計了下(上)界后,一定要舉例說明這個界是能取到的,才能說這就是最小(大)值,否則就不一定對了.例如,本題我們也可以這樣估計:
但無論x取什么值時,y取不到-3,即-3不能作為y的最小值.
例10 設x,y是實數(shù),求u=x2+xy+y2-x-2y的最小值.
分析 先將u看作是x的二次函數(shù)(把y看作常數(shù)),進行配方后,再把余下的關于y的代數(shù)式寫成y的二次函數(shù),再配方后,便可估計出下界來.
又當x=0,y=1時,u=-1,所以,u的最小值為-1.
例11 求函數(shù)
的最大值,并求此時的x值,其中[a]表示不超過a的最大整數(shù).
練習七
1.填空:
(1)函數(shù)y=x2+2x-3(0≤x≤3)的最小值是_____,最大值是_______.
(3)已知函數(shù)y=x2+2ax+1(-1≤x≤2)的最大值是4,則a=_____.
是_______.
(5)設函數(shù)y=-x2-2kx-3k2-4k-5的最大值是M,為使M最大,k=_____.
2.設f(x)=kx+1是x的函數(shù),以m(k)表示函數(shù)f(x)=kx+1在-1≤x≤3條件下的最大值,求函數(shù)m(k)的解析式和其最小值.
3.x,y,z是非負實數(shù),且滿足x+3y+2z=3,3x+3y+z=4.求u=3x-2y+4z的最大值與最小值.
4.已知x2+2y2=1,求2x+5y2的最大值和最小值.
交點間的距離的平方最小,求m的值.
6.已知二次函數(shù)y=x2+2(a+3)x+2a+4的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標分別為α,β,當實數(shù)a變動時,求(α-1)2+(β-1)2的最小值.
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