第十講 一元二次不等式的解法

　　a＜0時，可先在不等式兩邊同乘-1(不等號方向改變)，化為上述情況．

　　1．含參數(shù)的不等式的解法

　　例1 設a為參數(shù)，解關于x的一元二次不等式

x²(a+3)x+3a＜0．

　　解 分解因式

(x-3)(x-a)＜0．

　　(1)若a＞3，解為3＜x＜a；

　　(2)若a＜3，解為a＜x＜3；

　　(3)若a=3，原不等式變成(x-3)²＜0，無解．

　　例2 設a為參數(shù)，解關于x的一元二次不等式ax²-(a+1)x+1＜0．

　　解 (1)a=0，原不等式為-x+1＜0，解為x＞1．

　　(2)a≠0，分解因式得

　�、偃�a＞0，則

　�、谌�a＜0，則

　　　　　　　　　　　

　　

　　例3 對一切實數(shù)x，不等式ax²+(a-6)x+2＞0恒成立，求a的值．

　　解 由于不等式對一切x恒成立，故a應該滿足

　　所以 2＜a＜18．

　　例4 設有不等式

　　試求對于滿足0≤x≤2的一切x成立的t的取值范圍．

　　解 令y=x²-3x+2，0≤x≤2，則在0≤x≤2上y能取到的最小　

　　　　　　　　　

　　2．含絕對值的不等式

　　例5 解不等式x²-x-5＞|2x-1|．

x²-x-5＞2x-1，

　　即　　　　　　x²-3x-4＞0，

　　　　　　　　　　　　　　　x²-x-5＞1-2x，

　　即　　　　　　　　　x²+x-6＞0，

　　綜上所述，原不等式的解為x＜-3或x＞4．

　　例6 解不等式|x²-2x-3|＞2．

　　解 |y|＞2，即y＞2或y＜-2，所以，可以把原不等式分為兩個不等式：

x²-2x-3＞2， ①

x²-2x-3＜-2． ②

　　綜合上述兩個不等式的解，原不等式的解為(圖3－13)

　　3．可化為一元二次不等式來解的不等式

　　例7 解不等式

　　解 原不等式可化為

　　　　　　　　　　　　

(x-1)(x+1)＞0，

　　所以 　　　　　　　x＜-1或x＞1．

　　例8 解不等式

　　解 首先，由

　　得-1≤x≤3．將原不等式變形為

(7-8x)²＞16(x+1)，

　　所以 64x²-128x+33＞0，

　　例9 設a＞0，解不等式

　　解 因為a＞0，①的左端非負，因此x+1≥0．下面分兩種情形討論．

　　(1)x≥0時，①式左右兩邊平方得

a²x≤(x+1)²，

x²+(2-a²)x+1≥0． ②

　　因為△=(2-a²)²-4=a²(a²-4)，所以a＜2時，△＜0，②對一切x≥0成立．a≥2時，△≥0，x²+(2-a²)x+1有實根，而且兩根的積為1，和為非負數(shù)a²-2，所以兩根均為正．②的解為

　　(2)-1≤x＜0時，①式變?yōu)?/FONT>

　　

　　③式兩邊平方、整理得

x²+(a²+2)x+1≥0． ④

　　因為△=(a²+2)²-4＞0，所以x²+(a²+2)x+1有兩個不相等的實數(shù)根，由韋達定理知，兩根均為負．由于兩根積為1，較小的根小于-1，較大的根大于-1，所以④的解為

　　綜合(1)，(2)，原不等式的解為：

　　當a≥2時，

　　　　

　　及

　　　　

　　當0＜a＜2時，

　　　　

練習十

　　1．填空：

　　(1)不等式5x-3x²-2＞0的解為______．

　　(2)不等式42x²+ax＜a²的解為______．

　　(3)不等式x²-4|x|+3＞0的解為______．

　　　

　　

　　(8)若對任何實數(shù)x，不等式kx²-(k-2)x+k＞0恒成立，則k的取值范圍是____．

　　2．解不等式x⁴-3x²+2＜0．

　　3．解關于x的不等式

　　　　　　　　　　　　

　　4．不等式

　　　　　　　

　　對一切x都成立，求k的取值范圍．

　　5．a為何值時，只有一個x值滿足不等式

0＜x²+ax+5≤4．

　　

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