一元二次方程的根的判別式(
△)
是重要的基礎(chǔ)知識(shí)，它不僅能用于直接判定根的情況，而且在二次三項(xiàng)式、二次不等式、二次函數(shù)等方面有著重要的應(yīng)用，是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，在高中數(shù)學(xué)中也有許多應(yīng)用．熟練掌握它的各種用法，可提高解題能力和知識(shí)的綜合應(yīng)用能力．
1．判定方程根的情況
例1 已知方程x2-2x-m=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，其中m是實(shí)數(shù)．試判定方程x2+2mx+m(m+1)=0有無(wú)實(shí)數(shù)根．
解 因?yàn)榉匠?/FONT>x2-2x-m=0無(wú)實(shí)數(shù)根，所以
△1=(-2)2-4×(-m)=4+4m＜0，
即 m＜-1．
因?yàn)?/P>
△2=(2m)2-4m(m+1)=-4m＞0，
所以方程x2+2mx+m(m+1)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根．
例2 已知常數(shù)a為實(shí)數(shù)，討論關(guān)于x的方程
(a-2)x2+(-2a+1)x+a=0
的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)情況．
實(shí)根．
當(dāng)a≠2時(shí)，原方程為一元二次方程，其判別式
△=(-2a+1)2-4(a-2)a=4a+1，
說(shuō)明 對(duì)于一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)的方程，要按照二次項(xiàng)系數(shù)為零或不為零來(lái)討論根的情況，前者為一次方程，后者為二次方程，不能一上來(lái)就用判別式．
2．確定方程中系數(shù)的值或范圍
例3 關(guān)于x的一元二次方程
有實(shí)根，其中a是實(shí)數(shù)，求a99+x99的值．
解 因?yàn)榉匠逃袑?shí)根，所以
即 -a2-2a-1≥0．
因?yàn)?/FONT>-(a+1)2≥0，所以a+1=0，a=-1．
當(dāng)a=-1時(shí)，原方程為x2-2x+1=0，x=1，所以
a99+x99=(-1)99+199=0．
例4 若方程
x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0
有實(shí)根，求a，b的值．
解 因?yàn)榉匠逃袑?shí)根，所以它的判別式
△=4(1+a)2-4(3a2+4ab+4b2+2)≥0，
化簡(jiǎn)后得
2a2+4ab+4b2-2a+1≤0，
所以 (a+2b)2+(a-1)2≤0，
說(shuō)明 在本題中，只有一個(gè)不等式而要求兩個(gè)值，通常是通過(guò)配方把這個(gè)不等式變形為“若干個(gè)非負(fù)數(shù)之和小于等于零”，從而可以得到一個(gè)方程組，進(jìn)而求出要求的值．
例5 △ABC的一邊長(zhǎng)為5，另兩邊長(zhǎng)恰是方程
2x2-12x+m=0
的兩個(gè)根，求m的取值范圍．
解 設(shè)△ABC的三邊分別為a，b，c，且a=5，由
△=122-4?2?m=144-8m≥0
并且不等式
25=a2＞(b-c)2=(b+c)2-4bc=36-2m，
3．求某些方程或方程組的解
例6 求方程5x2+5y2+8xy+2y-2x+2=0的實(shí)數(shù)解．
解 先把y看作是常數(shù)，把原方程看成是關(guān)于x的一元二次方程，即
5x2+(8y-2)x+(5y2+2y+2)=0．
因?yàn)?/FONT>x是實(shí)數(shù)，所以判別式
△=(8y-2)2-4?5?(5y2+2y+2)≥0，
化簡(jiǎn)后整理得
y2+2y+1≤0，
即(y+1)2≤0，從而y=-1．將y=-1代入原方程，得
5x2-10x+5=0，
故x=1．所以，原方程的實(shí)數(shù)解為x=1，y=-1．
說(shuō)明 (1)本題也可以把x看作常數(shù)，把方程寫成關(guān)于y的一元二次方程，再用判別式來(lái)求解．
(2)本題還可以用配方的方法，把原方程變形為
4(x+y)2+(x-1)2+(y+1)2=0，
從而x=1，y=-1．
例7 解方程組
解 引入待定系數(shù)k，由k?①+②得
或?qū)懗?/P>
△=(k+4)2-4(k+7)(k-1)=0．
即
4．證明不等式，求最大值和最小值
用判別式證明不等式，常常把要證明的內(nèi)容通過(guò)韋達(dá)定理以及其他代數(shù)變形手段，放到某個(gè)一元二次方程的系數(shù)中去．
是多少？
(x-3)2+(kx-3)2=6，
即 (k2+1)x2-6(k+1)x+12=0，
將它看成關(guān)于x的一元二次方程．因x是實(shí)數(shù)，所以
△=36(k+1)2-48(k2+1)≥0，
即 k2-6k+1≤0． ①
解 由于
所以 yx2+(y-2)x+y=0，
上式可以看成關(guān)于x的一元二次方程．因x為實(shí)數(shù)，所以
△=(y-2)2-4y2≥0，
即 3y2+4y-4≤0，
(3y-2)(y+2)≤0．
當(dāng)y=-2時(shí)，代入yx2+(y-2)x+y=0中，得x=-1，即x=-1時(shí)，y=
例10 實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b+c=2，且對(duì)任何實(shí)數(shù)t，都有不等式
-t2+2t≤ab+bc+ca≤9t2-18t+10，
證 因?yàn)閷?duì)任何實(shí)數(shù)t，有
-t2+2t=-(t-1)2+1≤1，
9t2-18t+10=9(t-1)2+1≥1，
當(dāng)t=1時(shí)，便有
1≤ab+bc+ca≤1，
所以 ab+bc+ca=1．
由于a+b=2-c，于是
ab=1-c(a+b)=1-c(2-c)=(c-1)2，
于是a，b是一元二次方程
t2-(2-c)t+(c-1)2=0
的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．所以
△=(2-c)2-4(c-1)2≥0，
即 3c2-4c≤0，
練習(xí)九
1．選擇：
(1)某一元二次方程根的判別式△=2m2-6m+5，此方程根的情況是[ ]
(A)有兩個(gè)不相等的實(shí)根
(B)有兩個(gè)相等的實(shí)根
(C)沒(méi)有實(shí)根
(D)由實(shí)數(shù)m的值而定
(2)關(guān)于x的方程2kx2+(8k+1)x=-8k有兩個(gè)實(shí)根，則k的取值范圍是[ ]
(3)如果關(guān)于x的方程mx2-2(m+2)x+m+5=0沒(méi)有實(shí)根，那么關(guān)于x的方程(m-5)x2-2(m+2)x+m=0的實(shí)根個(gè)數(shù)為 [ ]
(A)2個(gè) (B)1個(gè)
(C)0個(gè) (D)不確定
(4)方程(x+1)2+(y-2)2=1的整數(shù)解有 [ ]
(A)1組 (B)2組
(C)4組 (D)無(wú)數(shù)組
(5)若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根，則判別式△=b2-4ac與平方式M=(2ax0+b)2的關(guān)系是 [ ]
(A)△＞M (B)△=M
(C)△＜M (D)不確定
2．填空：
(1)關(guān)于x的方程(a2-4)x2-2(a+2)x+1=0
恰有一個(gè)實(shí)根，則a=____．
(2)設(shè)m是不為0的整數(shù)，二次方程mx2-(m-1)x+1=0有有理根，則m=____．
(3)當(dāng)m=____時(shí)，二次方程(m2-2)x2-2(m+1)x+1=0
有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．
(4)p，q是正數(shù)，如果方程x2+px+q=0的兩個(gè)根之差是1，那么p=____．
(5)若x為實(shí)數(shù)，且有4y2+4xy+x+6=0，則使y取實(shí)數(shù)值的所有x值的范圍是____．
3．求方程5x2-12xy+10y2-6x-4y+13=0的實(shí)數(shù)解．
4．解方程組
5．已知a，b是整數(shù)，x2-ax+3-b=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，x2+(6-a)x+7-b=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，x2+(4-a)x+5-b=0沒(méi)有實(shí)根，求a，b的值．
6．已知a是實(shí)數(shù)，且關(guān)于x的方程x2-ax+a=0有兩個(gè)實(shí)根u，v，求證：u2+v2≥2(u+v)．
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