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第九講 判別式及其應(yīng)用

來(lái)源:初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽 2005-09-09 16:25:07

中考真題

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一元二次方程的根的判別式()是重要的基礎(chǔ)知識(shí),它不僅能用于直接判定根的情況,而且在二次三項(xiàng)式、二次不等式、二次函數(shù)等方面有著重要的應(yīng)用,是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容,在高中數(shù)學(xué)中也有許多應(yīng)用.熟練掌握它的各種用法,可提高解題能力和知識(shí)的綜合應(yīng)用能力. 

  1.判定方程根的情況

  1 已知方程x2-2x-m=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根,其中m是實(shí)數(shù).試判定方程x2+2mx+m(m+1)=0有無(wú)實(shí)數(shù)根.

   因?yàn)榉匠?/FONT>x2-2x-m=0無(wú)實(shí)數(shù)根,所以

1=(-2)2-4×(-m)=4+4m0

  m-1

  因?yàn)?/P>

2=(2m)2-4m(m+1)=-4m0,

  所以方程x2+2mx+m(m+1)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根.

  2 已知常數(shù)a為實(shí)數(shù),討論關(guān)于x的方程

(a-2)x2+(-2a+1)x+a=0

  的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)情況.

  實(shí)根.

  當(dāng)a2時(shí),原方程為一元二次方程,其判別式

=(-2a+1)2-4(a-2)a=4a+1,

  

  說(shuō)明 對(duì)于一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)的方程,要按照二次項(xiàng)系數(shù)為零或不為零來(lái)討論根的情況,前者為一次方程,后者為二次方程,不能一上來(lái)就用判別式. 

  2.確定方程中系數(shù)的值或范圍

  3 關(guān)于x的一元二次方程

  

  有實(shí)根,其中a是實(shí)數(shù),求a99+x99的值.

   因?yàn)榉匠逃袑?shí)根,所以

  -a2-2a-10

  因?yàn)?/FONT>-(a+1)20,所以a+1=0a=-1

  當(dāng)a=-1時(shí),原方程為x2-2x+1=0,x=1,所以

a99+x99=(-1)99+199=0

  4 若方程

x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0

  有實(shí)根,求a,b的值.

   因?yàn)榉匠逃袑?shí)根,所以它的判別式

=4(1+a)2-4(3a2+4ab+4b2+2)0,

  化簡(jiǎn)后得

2a2+4ab+4b2-2a+10

  所以        (a+2b)2+(a-1)20,

   

  

  說(shuō)明 在本題中,只有一個(gè)不等式而要求兩個(gè)值,通常是通過(guò)配方把這個(gè)不等式變形為“若干個(gè)非負(fù)數(shù)之和小于等于零”,從而可以得到一個(gè)方程組,進(jìn)而求出要求的值.

  5 ABC的一邊長(zhǎng)為5,另兩邊長(zhǎng)恰是方程

2x2-12x+m=0

  的兩個(gè)根,求m的取值范圍.

   設(shè)△ABC的三邊分別為a,b,c,且a=5,由

=122-4?2?m=144-8m0

  

  并且不等式

25=a2(b-c)2=(b+c)2-4bc=36-2m,

  

  

  3.求某些方程或方程組的解

  6 求方程5x2+5y2+8xy+2y-2x+2=0的實(shí)數(shù)解.

   先把y看作是常數(shù),把原方程看成是關(guān)于x的一元二次方程,即

5x2+(8y-2)x+(5y2+2y+2)=0

  因?yàn)?/FONT>x是實(shí)數(shù),所以判別式

=(8y-2)2-4?5?(5y2+2y+2)0,

  化簡(jiǎn)后整理得

y2+2y+10,

  (y+1)20,從而y=-1.將y=-1代入原方程,得

5x2-10x+5=0,

  x=1.所以,原方程的實(shí)數(shù)解為x=1y=-1

  說(shuō)明 (1)本題也可以把x看作常數(shù),把方程寫成關(guān)于y的一元二次方程,再用判別式來(lái)求解.

  (2)本題還可以用配方的方法,把原方程變形為

4(x+y)2+(x-1)2+(y+1)2=0

  從而x=1,y=-1

  7 解方程組

    

   引入待定系數(shù)k,由k?①+②得

  或?qū)懗?/P>

  

  

=(k+4)2-4(k+7)(k-1)=0

   

 

 

  即

  

  

  4.證明不等式,求最大值和最小值

  用判別式證明不等式,常常把要證明的內(nèi)容通過(guò)韋達(dá)定理以及其他代數(shù)變形手段,放到某個(gè)一元二次方程的系數(shù)中去.

  是多少?

  

(x-3)2+(kx-3)2=6,

         (k2+1)x2-6(k+1)x+12=0,

  將它看成關(guān)于x的一元二次方程.因x是實(shí)數(shù),所以

=36(k+1)2-48(k2+1)0,

      k2-6k+10

   

 

   

 

  

   由于

  

  所以 yx2+(y-2)x+y=0

  上式可以看成關(guān)于x的一元二次方程.因x為實(shí)數(shù),所以

=(y-2)2-4y20

  即     3y2+4y-40

(3y-2)(y+2)0

  

  當(dāng)y=-2時(shí),代入yx2+(y-2)x+y=0中,得x=-1,即x=-1時(shí),y=

 

  10 實(shí)數(shù)a,bc滿足a+b+c=2,且對(duì)任何實(shí)數(shù)t,都有不等式

-t2+2tab+bc+ca9t2-18t+10,

  

   因?yàn)閷?duì)任何實(shí)數(shù)t,有

-t2+2t=-(t-1)2+11,

9t2-18t+10=9(t-1)2+11

  當(dāng)t=1時(shí),便有

1ab+bc+ca1,

  所以       ab+bc+ca=1

  由于a+b=2-c,于是

ab=1-c(a+b)=1-c(2-c)=(c-1)2,

  于是ab是一元二次方程

t2-(2-c)t+(c-1)2=0

  的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.所以

=(2-c)2-4(c-1)20,

  3c2-4c0,

  

練習(xí)九

  1.選擇:

  (1)某一元二次方程根的判別式△=2m2-6m+5,此方程根的情況是[  ]

  (A)有兩個(gè)不相等的實(shí)根

  (B)有兩個(gè)相等的實(shí)根

  (C)沒(méi)有實(shí)根

  (D)由實(shí)數(shù)m的值而定

  (2)關(guān)于x的方程2kx2+(8k+1)x=-8k有兩個(gè)實(shí)根,則k的取值范圍是[  ]

  

  (3)如果關(guān)于x的方程mx2-2(m+2)x+m+5=0沒(méi)有實(shí)根,那么關(guān)于x的方程(m-5)x2-2(m+2)x+m=0的實(shí)根個(gè)數(shù)為 [  ]

  (A)2個(gè)       (B)1個(gè)

  (C)0個(gè)       (D)不確定

  (4)方程(x+1)2+(y-2)2=1的整數(shù)解有 [  ]

  (A)1      (B)2

  (C)4      (D)無(wú)數(shù)組

  (5)x0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根,則判別式△=b2-4ac與平方式M=(2ax0+b)2的關(guān)系是 [  ]

  (A)△>M       (B)=M

  (C)△<M       (D)不確定

  2.填空:

  (1)關(guān)于x的方程(a2-4)x2-2(a+2)x+1=0

  恰有一個(gè)實(shí)根,則a=____

  (2)設(shè)m是不為0的整數(shù),二次方程mx2-(m-1)x+1=0有有理根,則m=____

  (3)當(dāng)m=____時(shí),二次方程(m2-2)x2-2(m+1)x+1=0

  有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.

  (4)p,q是正數(shù),如果方程x2+px+q=0的兩個(gè)根之差是1,那么p=____

  (5)x為實(shí)數(shù),且有4y2+4xy+x+6=0,則使y取實(shí)數(shù)值的所有x值的范圍是____

  3.求方程5x2-12xy+10y2-6x-4y+13=0的實(shí)數(shù)解.

  4.解方程組

         

  5.已知ab是整數(shù),x2-ax+3-b=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根,x2+(6-a)x+7-b=0有兩個(gè)相等的實(shí)根,x2+(4-a)x+5-b=0沒(méi)有實(shí)根,求a,b的值.

  6.已知a是實(shí)數(shù),且關(guān)于x的方程x2-ax+a=0有兩個(gè)實(shí)根u,v,求證:u2+v22(u+v)

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