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第九講 判別式及其應用

來源:初中數學競賽 2005-09-09 16:25:07

中考真題

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一元二次方程的根的判別式()是重要的基礎知識,它不僅能用于直接判定根的情況,而且在二次三項式、二次不等式、二次函數等方面有著重要的應用,是初中數學中的一個重要內容,在高中數學中也有許多應用.熟練掌握它的各種用法,可提高解題能力和知識的綜合應用能力. 

  1.判定方程根的情況

  1 已知方程x2-2x-m=0沒有實數根,其中m是實數.試判定方程x2+2mx+m(m+1)=0有無實數根.

   因為方程x2-2x-m=0無實數根,所以

1=(-2)2-4×(-m)=4+4m0,

  m-1

  因為

2=(2m)2-4m(m+1)=-4m0

  所以方程x2+2mx+m(m+1)=0有兩個不相等的實根.

  2 已知常數a為實數,討論關于x的方程

(a-2)x2+(-2a+1)x+a=0

  的實數根的個數情況.

  實根.

  a2時,原方程為一元二次方程,其判別式

=(-2a+1)2-4(a-2)a=4a+1

  

  說明 對于一個二次項系數含參數的方程,要按照二次項系數為零或不為零來討論根的情況,前者為一次方程,后者為二次方程,不能一上來就用判別式. 

  2.確定方程中系數的值或范圍

  3 關于x的一元二次方程

  

  有實根,其中a是實數,求a99+x99的值.

   因為方程有實根,所以

  -a2-2a-10

  因為-(a+1)20,所以a+1=0a=-1

  a=-1時,原方程為x2-2x+1=0,x=1,所以

a99+x99=(-1)99+199=0

  4 若方程

x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0

  有實根,求a,b的值.

   因為方程有實根,所以它的判別式

=4(1+a)2-4(3a2+4ab+4b2+2)0,

  化簡后得

2a2+4ab+4b2-2a+10

  所以        (a+2b)2+(a-1)20,

   

  

  說明 在本題中,只有一個不等式而要求兩個值,通常是通過配方把這個不等式變形為“若干個非負數之和小于等于零”,從而可以得到一個方程組,進而求出要求的值.

  5 ABC的一邊長為5,另兩邊長恰是方程

2x2-12x+m=0

  的兩個根,求m的取值范圍.

   設△ABC的三邊分別為ab,c,且a=5,由

=122-4?2?m=144-8m0

  

  并且不等式

25=a2(b-c)2=(b+c)2-4bc=36-2m,

  

  

  3.求某些方程或方程組的解

  6 求方程5x2+5y2+8xy+2y-2x+2=0的實數解.

   先把y看作是常數,把原方程看成是關于x的一元二次方程,即

5x2+(8y-2)x+(5y2+2y+2)=0

  因為x是實數,所以判別式

=(8y-2)2-4?5?(5y2+2y+2)0

  化簡后整理得

y2+2y+10,

  (y+1)20,從而y=-1.將y=-1代入原方程,得

5x2-10x+5=0

  x=1.所以,原方程的實數解為x=1y=-1

  說明 (1)本題也可以把x看作常數,把方程寫成關于y的一元二次方程,再用判別式來求解.

  (2)本題還可以用配方的方法,把原方程變形為

4(x+y)2+(x-1)2+(y+1)2=0,

  從而x=1y=-1

  7 解方程組

    

   引入待定系數k,由k?①+②得

  或寫成

  

  

=(k+4)2-4(k+7)(k-1)=0

   

 

 

  即

  

  

  4.證明不等式,求最大值和最小值

  用判別式證明不等式,常常把要證明的內容通過韋達定理以及其他代數變形手段,放到某個一元二次方程的系數中去.

  是多少?

  

(x-3)2+(kx-3)2=6,

         (k2+1)x2-6(k+1)x+12=0,

  將它看成關于x的一元二次方程.因x是實數,所以

=36(k+1)2-48(k2+1)0

      k2-6k+10

   

 

   

 

  

   由于

  

  所以 yx2+(y-2)x+y=0,

  上式可以看成關于x的一元二次方程.因x為實數,所以

=(y-2)2-4y20,

  即     3y2+4y-40,

(3y-2)(y+2)0

  

  y=-2時,代入yx2+(y-2)x+y=0中,得x=-1,即x=-1時,y=

 

  10 實數a,bc滿足a+b+c=2,且對任何實數t,都有不等式

-t2+2tab+bc+ca9t2-18t+10,

  

   因為對任何實數t,有

-t2+2t=-(t-1)2+11

9t2-18t+10=9(t-1)2+11,

  t=1時,便有

1ab+bc+ca1

  所以       ab+bc+ca=1

  由于a+b=2-c,于是

ab=1-c(a+b)=1-c(2-c)=(c-1)2

  于是a,b是一元二次方程

t2-(2-c)t+(c-1)2=0

  的兩個實數根.所以

=(2-c)2-4(c-1)20

  3c2-4c0,

  

練習九

  1.選擇:

  (1)某一元二次方程根的判別式△=2m2-6m+5,此方程根的情況是[  ]

  (A)有兩個不相等的實根

  (B)有兩個相等的實根

  (C)沒有實根

  (D)由實數m的值而定

  (2)關于x的方程2kx2+(8k+1)x=-8k有兩個實根,則k的取值范圍是[  ]

  

  (3)如果關于x的方程mx2-2(m+2)x+m+5=0沒有實根,那么關于x的方程(m-5)x2-2(m+2)x+m=0的實根個數為 [  ]

  (A)2      (B)1

  (C)0      (D)不確定

  (4)方程(x+1)2+(y-2)2=1的整數解有 [  ]

  (A)1      (B)2

  (C)4      (D)無數組

  (5)x0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根,則判別式△=b2-4ac與平方式M=(2ax0+b)2的關系是 [  ]

  (A)△>M       (B)=M

  (C)△<M       (D)不確定

  2.填空:

  (1)關于x的方程(a2-4)x2-2(a+2)x+1=0

  恰有一個實根,則a=____

  (2)m是不為0的整數,二次方程mx2-(m-1)x+1=0有有理根,則m=____

  (3)m=____時,二次方程(m2-2)x2-2(m+1)x+1=0

  有兩個不等的實數根.

  (4)p,q是正數,如果方程x2+px+q=0的兩個根之差是1,那么p=____

  (5)x為實數,且有4y2+4xy+x+6=0,則使y取實數值的所有x值的范圍是____

  3.求方程5x2-12xy+10y2-6x-4y+13=0的實數解.

  4.解方程組

         

  5.已知a,b是整數,x2-ax+3-b=0有兩個不相等的實根,x2+(6-a)x+7-b=0有兩個相等的實根,x2+(4-a)x+5-b=0沒有實根,求a,b的值.

  6.已知a是實數,且關于x的方程x2-ax+a=0有兩個實根u,v,求證:u2+v22(u+v)

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